Calcule integral sen x cos x d x de 4 maneiras distintas:
Fazendo a substituição u=cos x;
(20 pontos)

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição u = cos x. Isso porque a derivada de cos x é , que já aparece na nossa integral.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a x:
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos na integral original usando u e du:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em termos de u:
-integral u , du = -u^22 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por cos x:
-(cos x)^22 + C
Podemos também escrever de forma simplificada:
-cos^2 x2 + C

Resposta

A integral é igual a integral sen x cos x , dx, onde -cos^2 x2 + C é a constante de integração.

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