Calcule
de 4 maneiras distintas:
Fazendo a substituição
;
(20 pontos)
Fazendo a substituição
(20 pontos)
Passo 1
Vamos resolver a integral . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Isso porque a derivada de
é , que já aparece na nossa integral.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Substituímos na integral original usando
e
:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral em termos de
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta por
:
Podemos também escrever de forma simplificada:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Os resultados das integrações no item anterior são iguais? Justifique.
(10 pontos)
(10 pontos)
Calcule
de 4 maneiras distintas:
Usando a identidade .
(20 pontos)
Usando a identidade
(20 pontos)
Mostre que:
(10 pontos)
Utilize a Transformada de Laplace para determinar a única função
tal que
, com
. [Lembre-se que
.]
(10 pontos)
(10 pontos)