Utilize a Transformada de Laplace para determinar a única função
tal que
, com
. [Lembre-se que
.]
(10 pontos)
(10 pontos)
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
com a condição inicial
. Para isso, vamos utilizar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais transformando-as em álgebra simples no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada
é dada por:
Aqui,
representa a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação
, temos:
Substituindo a expressão da derivada, ficamos com:
Passo 4
Substituindo a condição inicial
na equação acima:
Agora, vamos isolar
.
Passo 5
Rearranjando a equação para resolver
:
Fatorando
:
Portanto:
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Usando essa propriedade, podemos encontrar
.
Passo 7
Aplicando a Transformada Inversa:
Resposta
A função que satisfaz
com
é:
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