Utilize a Transformada de Laplace para determinar a única função tal que , com . [Lembre-se que .]
(10 pontos)

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a função que satisfaz a equação diferencial com a condição inicial . Para isso, vamos utilizar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais transformando-as em álgebra simples no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada é dada por:
Aqui, representa a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação , temos:
Substituindo a expressão da derivada, ficamos com:

Passo 4

Substituindo a condição inicial na equação acima:
Agora, vamos isolar .

Passo 5

Rearranjando a equação para resolver :
Fatorando :
Portanto:

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
Usando essa propriedade, podemos encontrar .

Passo 7

Aplicando a Transformada Inversa:

Resposta

A função que satisfaz com é:

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