Mostre que:
(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de
de 0 até
é igual a
. Esse exercício está relacionado a Cálculo Integral, especificamente com integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e talvez usar uma substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Observamos que o denominador pode ser fatorado. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a fração:
Passo 3
Agora, a integral fica bem mais simples:
Essa é uma integral padrão que conhecemos. A integral de
é
.
Passo 4
Então, vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites da integral:
Sabemos que
e
porque
.
Resposta
Portanto, a integral é igual a
.