Mostre que:
integral0^1raiz3 x^2-1x^4-1 d x=pi6 (10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de de 0 até é igual a . Esse exercício está relacionado a Cálculo Integral, especificamente com integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e talvez usar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) . Observamos que o denominador pode ser fatorado. Sabemos que:
x^2-1x^4-1 = x^2-1(x^2-1)(x^2+1) = 1x^2+1
Então, podemos reescrever a fração:

Passo 3

Agora, a integral fica bem mais simples:
integral0^1raiz3 1x^2+1 , dx
Essa é uma integral padrão que conhecemos. A integral de é .

Passo 4

Então, vamos calcular a integral:
integral 1x^2+1 , dx = arctan(x) + C
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites da integral:
[ arctan(x) ]0^1raiz3 = arctan(1raiz3) - arctan(0)
Sabemos que e porque .

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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