Mostre que:
(10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de de 0 até é igual a . Esse exercício está relacionado a Cálculo Integral, especificamente com integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e talvez usar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Observamos que o denominador pode ser fatorado. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a fração:

Passo 3

Agora, a integral fica bem mais simples:
Essa é uma integral padrão que conhecemos. A integral de é .

Passo 4

Então, vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites da integral:
Sabemos que e porque .

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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Calcule de 4 maneiras distintas:
Fazendo a substituição ;
(20 pontos)
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