Calcule de 4 maneiras distintas:
Utilizando integração por partes;
(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral utilizando integração por partes. A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, a gente precisa identificar qual parte da função será e qual será . Vamos precisar conhecer a regra de integração por partes e saber derivar e integrar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Olhando para , podemos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Substituímos na fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Notamos que a integral que queremos calcular aparece dos lados da equação. Vamos chamar essa integral de :
Somando dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto,

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Utilize a Transformada de Laplace para determinar a única função tal que , com . [Lembre-se que .]
(10 pontos)
Mostre que:
(10 pontos)
Mostre que:

(20 pontos)
Determine, se possível, o menor valor tal que
para todas as funções tais que , para todo .
(10 pontos)