Calcule integral sen x cos x d x de 4 maneiras distintas:
Utilizando integração por partes;
(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral utilizando integração por partes. A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, a gente precisa identificar qual parte da função será e qual será . Vamos precisar conhecer a regra de integração por partes e saber derivar e integrar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = sin x e dv = cos x , dx e . Olhando para , podemos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx (sin x) , dx = cos x , dx e v = integral cos x , dx = sin x :
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Substituímos na fórmula da integração por partes:
integral sin x cos x , dx = u , v - integral v , du = sin x cdot sin x - integral sin x cdot cos x , dx
Simplificando:
integral sin x cos x , dx = sin^2 x - integral sin x cos x , dx

Passo 5

Notamos que a integral que queremos calcular aparece dos lados da equação. Vamos chamar essa integral de I = sin^2 x - I :
2I = sin^2 x
Somando I = sin^2 x2 + C dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto,
integral sin x cos x , dx = sin^2 x2 + C

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