Calcule integral sen(6 x) cos (x) d x, utilizando a igualdade
sen(a) cos (b)=12[sen(a+b)+sen(a-b)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Vamos usar a identidade que relaciona o produto de seno e cosseno para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a identidade trigonométrica que foi dada:
sin(a) cos(b) = 12 [sin(a + b) + sin(a - b)]
No nosso caso, sin(6x) cos(x) = 12 [sin(6x + x) + sin(6x - x)] = 12 [sin(7x) + sin(5x)] e . Substituindo esses valores na identidade, temos:

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão, podemos reescrever a integral original usando essa identidade:
integral sin(6x) cos(x) , dx = integral 12 [sin(7x) + sin(5x)] , dx
Podemos fatorar o = 12 integral [sin(7x) + sin(5x)] , dx para facilitar a integração:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Aplicando isso aos nossos termos:
integral sin(7x) , dx = -17 cos(7x) + C
integral sin(5x) , dx = -15 cos(5x) + C

Passo 5

Voltando à nossa expressão, temos:
12 [ -17 cos(7x) - 15 cos(5x) ] + C
Podemos simplificar multiplicando o = -114 cos(7x) - 110 cos(5x) + C por cada termo dentro dos colchetes:

Resposta

A integral -114 cos(7x) - 110 cos(5x) + C é igual a:

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