Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x{4}-(y-1){4}}{x{2}+(y-1){2}}$

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de da função . Para isso, vamos usar os teoremas de limites, que nos ajudam a determinar o comportamento de funções quando as variáveis se aproximam de certos valores.

Passo 2

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é e o denominador é . Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar . Assim, quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. Substituindo na expressão, temos:

Passo 4

Agora, observe o numerador . Podemos fatorar essa expressão usando a diferença de potências:

Passo 5

Substituindo a fatoração no numerador, a expressão do limite fica:
Perceba que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:

Passo 6

Agora, nosso limite ficou mais simples:
Quando se aproxima de , tanto quanto se aproximam de 0.

Passo 7

Portanto, substituindo os valores:

Resposta

O limite é igual a 0.

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