Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x{4}-(y-1){4}}{x{2}+(y-1){2}}$
c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x{4}-(y-1){4}}{x{2}+(y-1){2}}$
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Para isso, vamos usar os teoremas de limites, que nos ajudam a determinar o comportamento de funções quando as variáveis se aproximam de certos valores.
Passo 2
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é
e o denominador é
. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar
. Assim, quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Substituindo na expressão, temos:
Passo 4
Agora, observe o numerador
. Podemos fatorar essa expressão usando a diferença de potências:
Passo 5
Substituindo a fatoração no numerador, a expressão do limite fica:
Perceba que
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
Passo 6
Agora, nosso limite ficou mais simples:
Quando
se aproxima de
, tanto
quanto
se aproximam de 0.
Passo 7
Portanto, substituindo os valores:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Ache as derivadas parciais indicadas.
a)
a)
Calcule
, utilizando a igualdade
Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
d)
d)
A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
a)
a)