Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x{4}-(y-1){4}}{x{2}+(y-1){2}}$

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de da função . Para isso, vamos usar os teoremas de limites, que nos ajudam a determinar o comportamento de funções quando as variáveis se aproximam de certos valores.

Passo 2

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é e o denominador é . Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar . Assim, quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. Substituindo na expressão, temos:

Passo 4

Agora, observe o numerador . Podemos fatorar essa expressão usando a diferença de potências:

Passo 5

Substituindo a fatoração no numerador, a expressão do limite fica:
Perceba que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:

Passo 6

Agora, nosso limite ficou mais simples:
Quando se aproxima de , tanto quanto se aproximam de 0.

Passo 7

Portanto, substituindo os valores:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Ache as derivadas parciais indicadas.
a) f(x, y) = 2 x^3 y + 5 x^2 y^2 - 3 x y^2 ; f_121(x, y), f_211(x, y)
Calcule integral sen(6 x) cos (x) d x, utilizando a igualdade
sen(a) cos (b)=12[sen(a+b)+sen(a-b)]
Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
d) lim (x, y) (0,0) sen^2 x+cos ^2 ye^2 x+e^2 y
A função é descontínua na origem, pois f(0, 0) não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0, 0) de tal que forma que a nova função seja contínua em (0,0).
a) f(x, y) = (x*y) / (x^2 + x*y + y^2)