Calcule a integral
integral e^3 theta sen 3 theta d theta

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício faz parte do cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolheremos:
u = e^3theta e dv = sin 3theta , dtheta

Passo 3

Calculando du = 3 e^3theta , dtheta e v = integral sin 3theta , dtheta = -13 cos 3theta :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^3theta sin 3theta , dtheta = uv - integral v , du
Substituindo os valores:
= e^3theta (-13 cos 3theta) - integral (-13 cos 3theta) cdot 3 e^3theta , dtheta
Simplificando:
= -13 e^3theta cos 3theta + integral e^3theta cos 3theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral u = e^3theta e dv = cos 3theta , dtheta . Vamos aplicar novamente a integração por partes, dessa vez com:
du = 3 e^3theta , dtheta
Calculando v = integral cos 3theta , dtheta = 13 sin 3theta e :

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes novamente:
integral e^3theta cos 3theta , dtheta = uv - integral v , du
Substituindo os valores:
= e^3theta cdot 13 sin 3theta - integral 13 sin 3theta cdot 3 e^3theta , dtheta
Simplificando:
= 13 e^3theta sin 3theta - integral e^3theta sin 3theta , dtheta

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
-13 e^3theta cos 3theta + ( 13 e^3theta sin 3theta - integral e^3theta sin 3theta , dtheta ) = integral e^3theta sin 3theta , dtheta
Rearranjando os termos:
2 integral e^3theta sin 3theta , dtheta = 13 e^3theta sin 3theta - 13 e^3theta cos 3theta

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 2 para isolar a integral:
integral e^3theta sin 3theta , dtheta = 16 e^3theta ( sin 3theta - cos 3theta ) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral e^3 theta sin 3 theta , dtheta = e^3theta ( sin 3theta - cos 3theta )6 + C

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