Determine os vetores e associados à curva . Ache as equações dos planos osculadores e normal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores (tangente), (normal) e (binormal) associados à curva dada:
Além disso, precisamos achar as equações dos planos osculadores e normal. Para isso, vamos usar conceitos do Cálculo Diferencial, mais especificamente o Quadro de Frenet-Serret, que nos ajuda a entender a geometria das curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor derivada da curva , que nos dá o vetor velocidade.
Passo 3
Agora, o vetor tangente unitário é dado por:
Vamos calcular a norma de :
Então,
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada :
Passo 5
O vetor normal é obtido normalizando a derivada de :
Vamos calcular :
A norma de :
Então,
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor binormal , que é o produto vetorial entre e :
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as equações dos planos osculador e normal.
Plano Osculador: É determinado pelo ponto e pelo vetor normal .
A equação do plano é dada por:
Substituindo e :
Simplificando:
Plano Normal: É determinado pelo ponto e pelo vetor binormal .