Determine os intervalos que contenham raízes, para cada uma das equações abaixo.
c) x^3 - 1/(1 + x^4) = 0;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a equação e precisa descobrir em quais intervalos essa equação tem raízes, ou seja, valores de que fazem a equação verdadeira. Para resolver isso, vamos usar o conceito de intervalo onde a função muda de sinal, indicando que existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Queremos encontrar onde . Para isso, vamos avaliar em diferentes valores de para ver onde a função muda de sinal.

Passo 3

Vamos começar avaliando em :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos avaliar em :
Então, .

Passo 5

Observamos que mudou de negativo para positivo entre e . Segundo o Teorema de Bolzano, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Portanto, h�� uma raiz entre e .

Passo 6

Vamos testar mais alguns valores para encontrar outros possíveis intervalos com raízes. Vamos avaliar em :
Então, .

Passo 7

Agora, avaliamos em :
Já sabemos disso. Vimos que e . Não houve mudança de sinal, então não há raiz entre e .

Passo 8

Vamos avaliar em :
Então, .

Passo 9

Como e , ainda estamos com valores positivos, sem mudança de sinal. Vamos testar :
Então, .

Passo 10

Vimos que é negativo e também é negativo. Não há mudança de sinal entre e , então não há raiz nesse intervalo.

Passo 11

Vamos resumir: encontramos uma mudança de sinal entre e , indicando uma raiz nesse intervalo. Não encontramos outras mudanças de sinal nos intervalos testados.

Resposta

A equação possui uma raiz no intervalo .

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