Determine os intervalos que contenham raízes, para cada uma das equações abaixo.
c)
;
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a equação
e precisa descobrir em quais intervalos essa equação tem raízes, ou seja, valores de
que fazem a equação verdadeira. Para resolver isso, vamos usar o conceito de intervalo onde a função muda de sinal, indicando que existe uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Queremos encontrar onde
. Para isso, vamos avaliar
em diferentes valores de
para ver onde a função muda de sinal.
Passo 3
Vamos começar avaliando
em
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar
em
:
Então,
.
Passo 5
Observamos que
mudou de negativo para positivo entre
e
. Segundo o Teorema de Bolzano, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Portanto, h�� uma raiz entre
e
.
Passo 6
Vamos testar mais alguns valores para encontrar outros possíveis intervalos com raízes. Vamos avaliar
em
:
Então,
.
Passo 7
Agora, avaliamos
em
:
Já sabemos disso. Vimos que
e
. Não houve mudança de sinal, então não há raiz entre
e
.
Passo 8
Vamos avaliar
em
:
Então,
.
Passo 9
Como
e
, ainda estamos com valores positivos, sem mudança de sinal. Vamos testar
:
Então,
.
Passo 10
Vimos que
é negativo e
também é negativo. Não há mudança de sinal entre
e
, então não há raiz nesse intervalo.
Passo 11
Vamos resumir: encontramos uma mudança de sinal entre
e
, indicando uma raiz nesse intervalo. Não encontramos outras mudanças de sinal nos intervalos testados.
Resposta
A equação
possui uma raiz no intervalo
.