Calcule
.
Passo 1
Ei! Vamos resolver a integral
. Esse exercício está trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição adequada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar os cálculos. Observamos que temos
. Vamos chamar essa expressão de
.
Então, definimos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando:
Isso implica que:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Perceba que
pode ser expressa em termos de
usando a definição de
:
Substituindo isso na integral:
Agora, distribuímos
:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Passo 7
Simplificando os coeficientes:
Distribuindo o
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta em termos de
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
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Calcule
.
Determine o deslocamento
e o período de uma corda de 40 cm de comprimento presa nas extremidades, com coeficiente
, solta do repouso de forma que o deslocamento inicial seja dado por
Suponha que uma bola de neve derrete de maneira que seu volume decresce a uma taxa proporcional a área de sua superfície. Se levar três horas para a bola de neve derreter para a metade de seu volume original, quanto demorará para a bola de neve derreter completamente?
Calcule
.