Calcule .

Passo 1

Ei! Vamos resolver a integral . Esse exercício está trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar os cálculos. Observamos que temos . Vamos chamar essa expressão de .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando:
Isso implica que:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Perceba que pode ser expressa em termos de usando a definição de :
Substituindo isso na integral:
Agora, distribuímos :

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:

Passo 7

Simplificando os coeficientes:
Distribuindo o :

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta em termos de :
Onde é a constante de integração.

Resposta

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