Calcule integral x^5(2-x^3)^25 d x.

Passo 1

Ei! Vamos resolver a integral . Esse exercício está trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar os cálculos. Observamos que temos u = 2 - x^3 . Vamos chamar essa expressão de .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -3x^2 em relação a du = -3x^2 dx Rightarrow dx = -13x^2 du para substituir na integral. Calculando:
Isso implica que:

Passo 4

Vamos substituir integral x^5 (2 - x^3)^25 dx = integral x^5 u^25 (-13x^2) du e = -13 integral x^3 u^25 du na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Perceba que u = 2 - x^3 Rightarrow x^3 = 2 - u pode ser expressa em termos de - 13 integral (2 - u) u^25 du usando a definição de - 13 integral 2u^25 - u^26 du :
Substituindo isso na integral:
Agora, distribuímos :

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
- 13 (2 integral u^25 du - integral u^26 du)
Calculando as integrais:
integral u^25 du = u^2626 e integral u^26 du = u^2727
Substituindo de volta:
- 13 (2 cdot u^2626 - u^2727)

Passo 7

Simplificando os coeficientes:
- 13 (226 u^26 - 127 u^27) = - 13 (113 u^26 - 127 u^27)
Distribuindo o - 139 u^26 + 181 u^27 :

Passo 8

Finalmente, substituímos - 139 (2 - x^3)^26 + 181 (2 - x^3)^27 + C de volta em termos de :
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x^5(2 - x^3)^25 dx = - 139 (2 - x^3)^26 + 181 (2 - x^3)^27 + C

Exercícios relacionados