Esboce a regiào cuja área é dada pela integral e calcule-a: .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que esboçar a região cuja área é dada pela integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, para encontrar a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração:
  • varia de a .
  • Para cada valor de , varia de a .
Isso significa que estamos considerando pontos no plano polar onde o ângulo está entre 90° e 180°, e a distância vai de 0 até uma função que depende de .

Passo 3

Vamos esboçar a região:
  1. de a : Isso cobre a segunda metade do plano polar (da direita para a esquerda).
  2. de a : Para cada ângulo , a distância máxima aumenta conforme aumenta.
Portanto, a região é uma espécie de setor que se estende à medida que aumenta de para .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral para encontrar a área. A fórmula geral para a área em coordenadas polares é:
Á
Onde:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna com relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado com relação a :
A integral de é:
Então:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando os termos:

Resposta

A área da região é .

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Calcule:
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