Esboce a regiào cuja área é dada pela integral e calcule-a: .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que esboçar a região cuja área é dada pela integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, para encontrar a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração:
varia de a .
Para cada valor de , varia de a .
Isso significa que estamos considerando pontos no plano polar onde o ângulo está entre 90° e 180°, e a distância vai de 0 até uma função que depende de .
Passo 3
Vamos esboçar a região:
de a : Isso cobre a segunda metade do plano polar (da direita para a esquerda).
de a : Para cada ângulo , a distância máxima aumenta conforme aumenta.
Portanto, a região é uma espécie de setor que se estende à medida que aumenta de para .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral para encontrar a área. A fórmula geral para a área em coordenadas polares é:
Onde:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna com relação a :