Esboce a regiào cuja área é dada pela integral e calcule-a: integralpi / 2^pi integral0^2 pi e n theta r d r d theta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que esboçar a região cuja área é dada pela integral dupla:
integralpi / 2^pi integral0^2 pi e n theta r , dr , dtheta
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, para encontrar a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração:
  • theta varia de pi/2 a pi.
  • Para cada valor de theta, r varia de 0 a 2 pi e n theta.
Isso significa que estamos considerando pontos no plano polar onde o ângulo está entre 90° e 180°, e a distância r vai de 0 até uma função que depende de theta.

Passo 3

Vamos esboçar a região:
  1. theta de pi/2 a pi: Isso cobre a segunda metade do plano polar (da direita para a esquerda).
  2. r de 0 a 2 pi e n theta: Para cada ângulo theta, a distância máxima r aumenta conforme theta aumenta.
Portanto, a região é uma espécie de setor que se estende à medida que theta aumenta de pi/2 para pi.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral para encontrar a área. A fórmula geral para a área em coordenadas polares é:
Área = integralalpha^beta integrala(theta)^b(theta) r , dr , dtheta Á
Onde:
  • alpha = pi/2
  • beta = pi
  • a(theta) = 0
  • b(theta) = 2 pi e n theta

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna com relação a r:
integral0^2 pi e n theta r , dr = 12 r^2 |0^2 pi e n theta = 12 (2 pi e n theta)^2 = 2 pi^2 e^2 n^2 theta^2

Passo 6

Agora, integramos o resultado com relação a theta:
integralpi/2^pi 2 pi^2 e^2 n^2 theta^2 , dtheta = 2 pi^2 e^2 n^2 integralpi/2^pi theta^2 , dtheta
A integral de theta^2 é:
integral theta^2 , dtheta = theta^33
Então:
2 pi^2 e^2 n^2 [ theta^33 ]pi/2^pi = 2 pi^2 e^2 n^2 ( pi^33 - (pi/2)^33 )

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
= 2 pi^2 e^2 n^2 ( pi^33 - pi^324 ) = 2 pi^2 e^2 n^2 ( 8pi^324 - pi^324 ) = 2 pi^2 e^2 n^2 ( 7pi^324 )
Multiplicando os termos:
= 712 pi^5 e^2 n^2

Resposta

A área da região é 712 pi^5 e^2 n^2.

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