Calcule: integral x^3 sen x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição e, depois, integração por partes. Essas técnicas nos ajudam a simplificar integrais que parecem complicadas à primeira vista.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir uma nova variável:
u = x^2
Agora, vamos calcular a derivada de du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 :
integral x^2 cdot x sin(x^2) , dx = integral u cdot x sin(u) , dx
Isso significa que:
integral u cdot sin(u) cdot du2 = 12 integral u sin(u) , du
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de :
A integral original é . Podemos escrever como , ou seja:
Substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral v , dw = v w - integral w , dv usando a técnica de integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
v = u Rightarrow dv = du
Vamos escolher:
dw = sin(u) , du Rightarrow w = -cos(u)
integral u sin(u) , du = -u cos(u) + integral cos(u) , du
Aplicando a fórmula:
integral cos(u) , du = sin(u)
Calculando a última integral:
integral u sin(u) , du = -u cos(u) + sin(u)
Então, temos:

Passo 4

Voltando à nossa expressão anterior:
12 integral u sin(u) , du = 12 ( -u cos(u) + sin(u) ) + C
Onde 12 ( -x^2 cos(x^2) + sin(x^2) ) + C é a constante de integração.
Agora, vamos substituir de volta:

Resposta

integral x^3 sin(x^2) , dx = -12 x^2 cos(x^2) + 12 sin(x^2) + C

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