Calcule integral sen(a x) d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com integração. A tarefa é calcular a integral de sen(a x) em relação a x. Para resolver isso, vamos precisar usar as técnicas de integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a integral de sen(u) em relação a u é -cos(u) + C, onde C é a constante de integração. No nosso caso, a função dentro do seno é a x, que é uma função linear de x.

Passo 3

Como temos uma função composta sen(a x), vamos aplicar a substituição (também conhecida como mudança de variável) para facilitar a integração. Vamos definir uma nova variável u igual a a x.
u = a x

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = a Rightarrow du = a , dx Rightarrow dx = dua

Passo 5

Substituímos u e dx na integral original:
integral sen(a x) , dx = integral sen(u) cdot dua = 1a integral sen(u) , du

Passo 6

Agora, integramos sen(u):
1a integral sen(u) , du = 1a ( -cos(u) ) + C = -1a cos(u) + C

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta por a x para retornar à variável original:
-1a cos(a x) + C

Resposta

A integral de sen(a x) em relação a x é:
-1a cos(a x) + C

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