Calcule integral xraiz2 x^2+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular . A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente, integração por substituição. Vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar a integral e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Observando o denominador, temos u = 2x^2 + 3 . Vamos chamar esse termo de :

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 4x em relação a du = 4x , dx para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x , dx = du4 em termos de . Vamos rearranjar a equação acima:

Passo 5

Substituímos integral xraiz2x^2+3 , dx = integral 1raizu cdot du4 e 14 integral u^-1/2 , du na integral original:
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar 14 cdot u^1/212 + C = 14 cdot 2u^1/2 + C = 12u^1/2 + C . A integral de é , onde é a constante de integração. Aqui, :

Passo 7

Finalmente, substituímos 12raiz2x^2 + 3 + C de volta em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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