Calcule.
(a) integral sen^3(x) d x
(b) integral cos^2(4 x) d x
© integral sen(x) cos ^4(5 x) d x
(d) integral tg(x) sec ^4(x) d x
(e) integral0^pi / 4 sen^2(2 x) cos ^2(2 x) d x
(f) integral sec ^3(x2) d x
(g) integral0^pi / 2 sen^7(x) cos ^5(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício que pede para calcular a integral de sen^3(x) , dx. Aqui, estamos trabalhando com integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada identidade trigonométrica para transformar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sen^3(x) pode ser escrita como sen(x) cdot sen^2(x). Sabemos que sen^2(x) pode ser transformada usando a identidade trigonométrica:
sen^2(x) = 1 - cos^2(x)
Então, substituindo isso na integral, temos:
integral sen^3(x) , dx = integral sen(x) cdot (1 - cos^2(x)) , dx

Passo 3

Agora, vamos distribuir a sen(x) dentro dos parênteses:
integral sen(x) cdot 1 , dx - integral sen(x) cdot cos^2(x) , dx
Isso nos dá duas integrais separadas:
integral sen(x) , dx - integral sen(x) cos^2(x) , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando pela primeira:
integral sen(x) , dx = -cos(x) + C
Agora, para a segunda integral integral sen(x) cos^2(x) , dx, podemos usar a substituição. Vamos definir:
u = cos(x) du = -sen(x) , dx Rightarrow -du = sen(x) , dx
Substituindo na integral:
integral sen(x) cos^2(x) , dx = -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3(x)3 + C

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que integramos:
-cos(x) - (-cos^3(x)3) + C = -cos(x) + cos^3(x)3 + C
Podemos fatorar o -cos(x):
-cos(x) (1 - cos^2(x)3) + C

Resposta

integral sen^3(x) , dx = -cos(x) + cos^3(x)3 + C

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