Calcule.
(a) integral sen^3(x) d x
(b) integral cos^2(4 x) d x
© integral sen(x) cos ^4(5 x) d x
(d) integral tg(x) sec ^4(x) d x
(e) integral0^pi / 4 sen^2(2 x) cos ^2(2 x) d x
(f) integral sec ^3(x2) d x
(g) integral0^pi / 2 sen^7(x) cos ^5(x) d x
(h) integral0^pi / 4 sec ^4(x) tg^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que vamos usar aqui é de integração de funções trigonométricas, especificamente usando identidades trigonométricas para simplificar a expressão. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a identidade e usar uma técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sen^3(x) = sen(x) cdot sen^2(x) de uma forma que facilite a integração. Podemos separar um fator de e deixar para usar a identidade trigonométrica:

Passo 3

Agora, substituímos sen^2(x) = 1 - cos^2(x) pela identidade trigonométrica:
sen^3(x) = sen(x) cdot (1 - cos^2(x))
Então:

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral sen(x) cdot (1 - cos^2(x)) , dx
Vamos distribuir a integral sen(x) , dx - integral sen(x) cdot cos^2(x) , dx :

Passo 5

A primeira integral é direta:
integral sen(x) , dx = -cos(x) + C
Para a segunda integral, vamos usar substituição. Vamos definir:
u = cos(x) implies du = -sen(x) , dx implies -du = sen(x) , dx

Passo 6

Substituindo na segunda integral:
- integral u^2 , du = -( u^33 ) + C = -cos^3(x)3 + C

Passo 7

Juntando as duas partes:
-cos(x) - cos^3(x)3 + C

Resposta

integral sen^3(x) , dx = -cos(x) - cos^3(x)3 + C

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