Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(k)
(1)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(k)
(1)
Passo 1
Beleza! O que a gente precisa aqui é descobrir se a integral perde o rumo (diverge) ou chega num ponto final (converge). A matéria que vai rolar aqui é cálculo integral, especificamente integrais impróprias, que são aquelas com limites infinitos ou com funções que não são bem definidas em algum ponto do intervalo. Vamos precisar saber sobre limites e propriedades das funções trigonométricas pra resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . A função seno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de
. Isso significa que a área sob a curva da função seno entre 0 e infinito vai alternar entre positiva e negativa sem se estabilizar.
Passo 3
Agora, vamos tentar calcular a integral indefinida de . Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando os limites da integral imprópria:
Sabemos que
e
oscila entre -1 e 1 conforme
aumenta.
Passo 5
Vamos analisar o limite:
Como
não se aproxima de nenhum valor fixo quando
vai para o infinito (continua oscilando), esse limite não existe, ou seja, a integral não se estabiliza para um valor específico.
Resposta
A integral diverge.
Exercícios relacionados
Qual é o módulo do vetor obtido pelo produto vetorial dos dois vetores
e
?
Considere a função
Determine o valor de cada limite abaixo, caso exista.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Calcule.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
(a)
(b)
(a)
(b)