Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a) integral0^infty sen(x) d x
(b) integral0^2 1(x-1)^2 d x
© integral-infty^infty 1x^2+4 x+9 d x
(d) integral0^1 / 2 1x ln x d x
(e) integral0^1 / 2 1x ln^2 x d x
(f) integral2^infty 1x raizln x d x
(g) integral2^infty 1x ln x d x
(h) integral0^infty 1x+1 d x
(i) integral0^infty 1(x^2-x+1) d x
(k) integral2^infty 1x^2-1 d x
(1) integral2^infty 1(x^2-1)^2 d x

Passo 1

Beleza! O que a gente precisa aqui é descobrir se a integral perde o rumo (diverge) ou chega num ponto final (converge). A matéria que vai rolar aqui é cálculo integral, especificamente integrais impróprias, que são aquelas com limites infinitos ou com funções que não são bem definidas em algum ponto do intervalo. Vamos precisar saber sobre limites e propriedades das funções trigonométricas pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . A função seno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de . Isso significa que a área sob a curva da função seno entre 0 e infinito vai alternar entre positiva e negativa sem se estabilizar.

Passo 3

Agora, vamos tentar calcular a integral indefinida de . Sabemos que:
onde integral sen(x) , dx = -cos(x) + C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando os limites da integral imprópria:
Sabemos que integral0^infty sen(x) , dx = limb to infty [ -cos(x) ]0^b = limb to infty ( -cos(b) + cos(0) ) e oscila entre -1 e 1 conforme aumenta.

Passo 5

Vamos analisar o limite:
limb to infty (-cos(b) + 1)
Como não se aproxima de nenhum valor fixo quando vai para o infinito (continua oscilando), esse limite não existe, ou seja, a integral não se estabiliza para um valor específico.

Resposta

A integral diverge.

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