Calcule: (2,0)
integral sen xcos ^3 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo integrais de funções trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, observamos que o numerador da fração é e o denominador é . Isso sugere que podemos usar uma substituição que envolva .

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = -sin x , dx . Assim, a derivada de em relação a é:
Isso nos permite reescrever como .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral sin xcos^3 x , dx = integral -duu^3 = -integral u^-3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar -integral u^-3 , du = -( u^-2-2 ) + C = 12u^2 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos 12u^2 + C = 12cos^2 x + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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