Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente de frações racionais. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e depois simplificar a expressão para poder integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O numerador é
(grau 3) e o denominador é
(grau 2). Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer a divisão polinomial antes de prosseguir.
Passo 3
Vamos dividir
por
.
- Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo do denominador:
. - Multiplicamos
pelo denominador: . - Subtraímos esse resultado do numerador original:
Agora, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Notamos que o numerador e o denominador são de grau igual, então podemos fazer mais uma divisão:
- Dividimos
. - Multiplicamos
pelo denominador: . - Subtraímos desse resultado:
Então:
Passo 5
Juntando tudo, nossa integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 6
Integramos cada parte separadamente:
Para o terceiro termo, vamos simplificar a fração. O denominador
pode ser fatorado:
Então, podemos usar frações parciais para decompô-la.
Passo 7
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
Então:
Portanto:
Passo 8
Agora, voltando à integral:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Agora, juntando todas as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule:
Calcule:
Seja
(b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de
, em torno do eixo
.
(b)
Calcule: