Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente de frações racionais. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e depois simplificar a expressão para poder integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O numerador é (grau 3) e o denominador é (grau 2). Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer a divisão polinomial antes de prosseguir.

Passo 3

Vamos dividir por .
  1. Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo do denominador: .
  2. Multiplicamos pelo denominador: .
  3. Subtraímos esse resultado do numerador original:
Agora, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar . Notamos que o numerador e o denominador são de grau igual, então podemos fazer mais uma divisão:
  1. Dividimos .
  2. Multiplicamos pelo denominador: .
  3. Subtraímos desse resultado:
Então:

Passo 5

Juntando tudo, nossa integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integramos cada parte separadamente:
Para o terceiro termo, vamos simplificar a fração. O denominador pode ser fatorado:
Então, podemos usar frações parciais para decompô-la.

Passo 7

Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda:
Então:
Portanto:

Passo 8

Agora, voltando à integral:
Integrando termo a termo:

Passo 9

Agora, juntando todas as integrais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

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(b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de , em torno do eixo .
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