Calcule: (2,0)
integral x^3+x+1x^2-4 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente de frações racionais. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e depois simplificar a expressão para poder integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O numerador é (grau 3) e o denominador é (grau 2). Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer a divisão polinomial antes de prosseguir.

Passo 3

Vamos dividir (x^3 + x + 1) - (x^3 - 4x^2 + 3x) = 4x^2 - 2x + 1 por x^3+x+1x^2-4x+3 = x + 4x^2 - 2x + 1x^2-4x+3 .
  1. Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo do denominador: .
  2. Multiplicamos pelo denominador: .
  3. Subtraímos esse resultado do numerador original:
Agora, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar (4x^2 - 2x + 1) - (4x^2 - 16x + 12) = 14x - 11 . Notamos que o numerador e o denominador são de grau igual, então podemos fazer mais uma divisão:
  1. Dividimos 4x^2 - 2x + 1x^2-4x+3 = 4 + 14x - 11x^2-4x+3 .
  2. Multiplicamos pelo denominador: .
  3. Subtraímos desse resultado:
Então:

Passo 5

Juntando tudo, nossa integral fica:
integral x^3+x+1x^2-4x+3 dx = integral ( x + 4 + 14x - 11x^2-4x+3 ) dx
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integramos cada parte separadamente:
  1. x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)
Para o terceiro termo, vamos simplificar a fração. O denominador pode ser fatorado:
Então, podemos usar frações parciais para decompô-la.

Passo 7

Assumimos que:
14x - 11(x-1)(x-3) = Ax-1 + Bx-3
Multiplicando ambos os lados por 14x - 11 = A(x-3) + B(x-1) :
14x - 11 = Ax - 3A + Bx - B = (A + B)x - (3A + B)
Expandindo:
A + B = 14 -3A - B = -11
Igualando os coeficientes:
-3A - (14 - A) = -11 -3A -14 + A = -11 -2A = 3 A = -32
Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: B = 14 - (-32) = 312
  • Substituindo na segunda:
14x - 11(x-1)(x-3) = -32x-1 + 312x-3
Então:
Portanto:

Passo 8

Agora, voltando à integral:
integral 14x - 11x^2-4x+3 dx = integral ( -32x-1 + 312x-3 ) dx
Integrando termo a termo:
-32 integral 1x-1 dx + 312 integral 1x-3 dx = -32 ln|x-1| + 312 ln|x-3|

Passo 9

Agora, juntando todas as integrais:
integral x^3+x+1x^2-4x+3 dx = 12x^2 + 4x - 32 ln|x-1| + 312 ln|x-3| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

12x^2 + 4x - 32 ln|x-1| + 312 ln|x-3| + C

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