Seja
(b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de , em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto e precisa calcular o volume do sólido que forma quando a região gira ao redor do eixo . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com o método dos discos ou anéis para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da região . Temos que está entre e . Para saber para quais valores de isso vale, igualamos e resolvemos:
As soluções são e . Portanto, o intervalo de que nos interessa é de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos usar o método dos anéis (ou discos) para calcular o volume. A ideia é que cada “anel” tem uma área igual à diferença das áreas dos círculos formados por e , girando em torno do eixo .
A fórmula para o volume é:
Onde e , e os limites de integração são de a .

Passo 4

Substituindo as funções na fórmula, temos:

Passo 5

Vamos calcular a integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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