Seja
(b)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de
, em torno do eixo
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto
e precisa calcular o volume do sólido que forma quando a região
gira ao redor do eixo
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com o método dos discos ou anéis para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da região
. Temos que
está entre
e
. Para saber para quais valores de
isso vale, igualamos
e resolvemos:
As soluções são
e
. Portanto, o intervalo de
que nos interessa é de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos usar o método dos anéis (ou discos) para calcular o volume. A ideia é que cada “anel” tem uma área igual à diferença das áreas dos círculos formados por
e
, girando em torno do eixo
.
A fórmula para o volume é:
Onde
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 4
Substituindo as funções na fórmula, temos:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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