Calcule integral sen xcos ^3 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que facilita o cálculo de integrais complexas.

Passo 2

Vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que o denominador é cos^3 x e o numerador é . Sabemos que a derivada de sen x é , o que sugere que podemos usar uma substituição envolvendo cos x.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = cos x. Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo u = cos x e na integral original, temos:
Agora, a integral está em termos de sen x , dx = -du, o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar -u^-3 em relação a u:
- integral u^-3 , du = - ( u^-2-2 ) + C = 12u^2 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u = cos x de volta na expressão:
12u^2 + C = 12cos^2 x + C
Podemos também escrever isso usando a identidade trigonométrica sec x = 1cos x:
12 sec^2 x + C

Resposta

A integral de é sen xcos^3 x , dx, onde 12 sec^2 x + C é a constante de integração.

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