Calcule integral 2 x(x^2+1)^4 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral 2 x(x^2+1)^4 d x. Estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial composta, então vamos usar a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observamos que o termo (x^2+1) está elevado à potência 4 e multiplicado por 2x. Vamos definir:
u = x^2 + 1
Isso vai facilitar a integração porque a derivada de u em relação a x aparece na integral original.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial du. Derivando u em relação a x, temos:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que 2x , dx pode ser substituído por du na integral.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, ficamos com:
integral 2 x(x^2+1)^4 d x = integral u^4 , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais simples de calcular.

Passo 5

Vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para x:
u^55 + C = (x^2+1)^55 + C

Resposta

A integral é igual a (x^2+1)^55 + C.

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