Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas, que são tipo os parentes das funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a expressão para que fique mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar umas coisas básicas. Sabemos que:
Mas, para facilitar, vamos usar uma estratégia mais direta. Vamos escolher uma parte da integral para ser nossa “substituição”.
Passo 3
Vamos definir:
A ideia aqui é que ao definir
dessa forma, a derivada de
em relação a
vai aparecer na integral, facilitando a substituição.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Ou seja,
. Isso é ótimo porque temos
no numerador da nossa integral original.
Passo 5
Então, podemos reescrever
como
:
Agora, nossa integral original fica em termos de
:
Isso simplifica muito a integral!
Passo 6
A integral de
em relação a
é conhecida:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Como
é sempre positivo, podemos simplificar para:
Resposta
A integral é
.