Calcule: integral senh x1+cosh x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas, que são tipo os parentes das funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a expressão para que fique mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar umas coisas básicas. Sabemos que:
cosh x = e^x + e^-x2 e sinh x = e^x - e^-x2
Mas, para facilitar, vamos usar uma estratégia mais direta. Vamos escolher uma parte da integral para ser nossa “substituição”.

Passo 3

Vamos definir:
u = 1 + cosh x
A ideia aqui é que ao definir dessa forma, a derivada de em relação a vai aparecer na integral, facilitando a substituição.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = sinh x em relação a :
Ou seja, . Isso é ótimo porque temos no numerador da nossa integral original.

Passo 5

Então, podemos reescrever sinh x , dx = du como integral duu :
Agora, nossa integral original fica em termos de :
Isso simplifica muito a integral!

Passo 6

A integral de integral 1u , du = ln |u| + C em relação a é conhecida:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original ln |1 + cosh x| + C . Lembrando que ln(1 + cosh x) + C , substituímos de volta:
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Resposta

A integral é .

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