Calcule: integral tg x+sen xsec x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado: queremos calcular a integral de em relação a . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, então vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas básicas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração tan x + sin xsec x = sin xcos x + sin x1cos x . Sabemos que e que . Vamos substituir essas identidades na expressão:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração complexa. Podemos multiplicar numerador e denominador por sin xcos x + sin x1cos x times cos xcos x = sin x + sin x cos x1 para eliminar as frações internas:
sin x + sin x cos x
Então, a expressão simplificada é:

Passo 4

Agora, vamos integrar a expressão simplificada:
integral (sin x + sin x cos x) , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
integral sin x , dx + integral sin x cos x , dx

Passo 5

Integrando a primeira parte:
integral sin x , dx = -cos x + C1
Agora, para a segunda parte integral sin x cos x , dx = -integral u , du = -u^22 + C2 = -cos^2 x2 + C2 , podemos usar a substituição , então . Isso transforma a integral:

Passo 6

Somando as duas integrais, temos:
-cos x - cos^2 x2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de -cos x - cos^2 x2 + C em relação a é:

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