Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, como integrais impróprias e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o tipo de integral que estamos lidando. A integral vai de 2 até o infinito, o que a torna uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Além disso, a função se comporta de maneira interessante à medida que cresce.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos deixar . Assim, precisamos calcular :
Mas como , podemos rearranjar . Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, substituímos todas as partes da integral original usando :
Perceba que no numerador e denominador se cancelam.

Passo 5

Agora, a integral se simplificou para:
Essa é uma integral mais simples de resolver. Vamos integrar :

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto, a expressão vai para infinito.

Passo 7

Como o resultado da integral tende ao infinito, isso significa que a integral diverge. Ou seja, ela não possui um valor finito.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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