Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, como integrais impróprias e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o tipo de integral que estamos lidando. A integral vai de 2 até o infinito, o que a torna uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Além disso, a função
se comporta de maneira interessante à medida que
cresce.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos deixar
. Assim, precisamos calcular
:
Mas como
, podemos rearranjar
. Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, substituímos todas as partes da integral original usando
:
Perceba que
no numerador e denominador se cancelam.
Passo 5
Agora, a integral se simplificou para:
Essa é uma integral mais simples de resolver. Vamos integrar
:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto, a expressão
vai para infinito.
Passo 7
Como o resultado da integral tende ao infinito, isso significa que a integral diverge. Ou seja, ela não possui um valor finito.
Resposta
A integral
diverge, ou seja, não converge para um valor finito.
Exercícios relacionados
Calcule:
Calcule:
Calcule:
Calcule: