Calcule: integral sin xraiz1+cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais que têm funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição que facilite a expressão. Observando o denominador 1 + cos x = 2 cos^2 ( x2 ) , lembramos que temos uma identidade trigonométrica que pode ajudar:
Isso nos permite simplificar a raiz quadrada.

Passo 3

Aplicando a identidade na integral, temos:
integral sin xraiz1+cos x , dx = integral sin xraiz2 cos^2 ( x2 ) , dx
Simplificando a raiz:
raiz2 cos^2 ( x2 ) = raiz2 , |cos ( x2 )|
Considerando que raiz2 cos ( x2 ) é positivo no intervalo relevante, podemos escrever:
integral sin xraiz2 cos ( x2 ) , dx = 1raiz2 integral sin xcos ( x2 ) , dx
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a substituição u = cos ( x2 ) du = -12 sin ( x2 ) dx Rightarrow dx = -2 dusin ( x2 ) . Para isso, precisamos encontrar sin xcos ( x2 ) = 2 sin ( x2 ) cos ( x2 )cos ( x2 ) = 2 sin ( x2 ) :
1raiz2 integral 2 sin ( x2 ) , dx = 2raiz2 integral sin ( x2 ) , dx
Mas observe que , então podemos substituir:
Então, a integral fica:

Passo 5

Integrando integral sin ( x2 ) , dx = -2 cos ( x2 ) + C :
2raiz2 cdot (-2 cos ( x2 )) = -4raiz2 cos ( x2 ) + C
Multiplicando pelos constantes:
-2raiz2 cos ( x2 ) + C
Podemos simplificar para :

Resposta

A integral de -2raiz2 cos ( x2 ) + C é:
onde é a constante de integração.

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