Use as substituições trigonométricas para calcular: integral d xraiz(x^2-4)^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral integral d xraiz(x^2-4)^3. Esse tipo de integral envolve substituições trigonométricas, que são usadas quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios do segundo grau. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que temos raizx^2 - 4, que é similar à forma raizx^2 - a^2. Para esse caso, a substituição comum é x = a sec theta. Aqui, a = 2, então vamos definir:
x = 2 sec theta

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de x em relação a theta para substituir dx na integral. Derivando ambos os lados:
dxdtheta = 2 sec theta tan theta Rightarrow dx = 2 sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral dxraiz(x^2 - 4)^3 = integral 2 sec theta tan theta , dthetaraiz(4 sec^2 theta - 4)^3
Simplificando dentro da raiz:
4 sec^2 theta - 4 = 4 (sec^2 theta - 1) = 4 tan^2 theta Rightarrow raiz(4 tan^2 theta)^3 = raiz64 tan^6 theta = 8 tan^3 theta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 2 sec theta tan theta , dtheta8 tan^3 theta = integral 2 sec theta8 tan^2 theta , dtheta = 14 integral sec thetatan^2 theta , dtheta
Sabemos que tan theta = sin thetacos theta e sec theta = 1cos theta, então:
sec thetatan^2 theta = 1/cos thetasin^2 theta / cos^2 theta = cos thetasin^2 theta

Passo 6

Agora, a integral fica:
14 integral cos thetasin^2 theta , dtheta = 14 integral cot theta csc theta , dtheta
Sabemos que a integral de cot theta csc theta é - csc theta + C, então:
14 (-csc theta) + C = -14 csc theta + C

Passo 7

Precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = 2 sec theta, então:
sec theta = x2 Rightarrow theta = sec^-1 ( x2 )
Além disso, csc theta = 1sin theta. Usando um triângulo retângulo, onde a hipotenusa é x, o cateto adjacente é 2, e o cateto oposto é raizx^2 - 4, temos:
sin theta = raizx^2 - 4x Rightarrow csc theta = xraizx^2 - 4

Resposta

Portanto, a integral calculada é:
integral d xraiz(x^2-4)^3 = -14 cdot xraizx^2 - 4 + C

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