Use as substituições trigonométricas para calcular:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral
. Esse tipo de integral envolve substituições trigonométricas, que são usadas quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios do segundo grau. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que temos
, que é similar à forma
. Para esse caso, a substituição comum é
. Aqui,
, então vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 7
Precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então:
Além disso,
. Usando um triângulo retângulo, onde a hipotenusa é
, o cateto adjacente é
, e o cateto oposto é
, temos:
Resposta
Portanto, a integral calculada é: