Calcule: integral x-32x^2-3 x+10 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral racional, onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de frações parciais e completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador: x^2 - 3x + 10 = (x^2 - 3x + 94) + 10 - 94 = (x - 32)^2 + 314 . A ideia é completar o quadrado para facilitar a integração. Para completar o quadrado, pegamos os coeficientes de e fazemos o seguinte:
Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral usando essa forma completada:
integral x - 32(x - 32)^2 + 314 , dx
Perceba que o numerador é exatamente integral f'(x)f(x) , dx = ln|f(x)| + C , que é a derivada do denominador em relação a . Isso é útil porque sabemos que:

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa integral:
integral x - 32(x - 32)^2 + 314 , dx = 12 ln((x - 32)^2 + 314) + C
A constante aparece porque a derivada do denominador traz um fator de 2, que precisamos compensar.

Passo 5

Portanto, a integral resolvida é:
12 ln(x^2 - 3x + 10) + C

Resposta

12 ln(x^2 - 3x + 10) + C

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