Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral racional, onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de frações parciais e completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador: . A ideia é completar o quadrado para facilitar a integração. Para completar o quadrado, pegamos os coeficientes de e fazemos o seguinte:
Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral usando essa forma completada:
Perceba que o numerador é exatamente , que é a derivada do denominador em relação a . Isso é útil porque sabemos que:

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa integral:
A constante aparece porque a derivada do denominador traz um fator de 2, que precisamos compensar.

Passo 5

Portanto, a integral resolvida é:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule:
Use a integração por partes para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Use as substituições trigonométricas para calcular:
Use as substituições trigonométricas para calcular: