Use a integração por partes para calcular as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

Vamos lá! Temos que resolver a integral indefinida usando o método de integração por partes. Esse método faz parte do cálculo integral e vai nos ajudar a simplificar a integral envolvendo um produto de funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
A ideia é escolher qual parte da integral será e qual será . Normalmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada.

Passo 3

Vamos fazer as seguintes escolhas:

  • Isso porque ao derivar, vamos reduzir o expoente do logaritmo.

  • Essa parte é simples de integrar.
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
Integrando para achar :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhemos:

  • Assim, ao derivar, simplificamos a expressão.
Calculando e :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes nessa nova integral:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule:
Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Calcule:
Calcule: