Use a integração por partes para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Vamos lá! Temos que resolver a integral indefinida
usando o método de integração por partes. Esse método faz parte do cálculo integral e vai nos ajudar a simplificar a integral envolvendo um produto de funções, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
A ideia é escolher qual parte da integral será
e qual será
. Normalmente, escolhemos
como a função que simplifica quando derivada.
Passo 3
Vamos fazer as seguintes escolhas:
-
Isso porque ao derivar, vamos reduzir o expoente do logaritmo. -
Essa parte é simples de integrar.
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Integrando
para achar
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhemos:
-
Assim, ao derivar, simplificamos a expressão. -
Calculando
e
:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes nessa nova integral:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
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