Use a integração por partes para calcular as seguintes integrais indefinidas: integral x ln ^2 x d x

Passo 1

Vamos lá! Temos que resolver a integral indefinida integral x ln^2x , dx usando o método de integração por partes. Esse método faz parte do cálculo integral e vai nos ajudar a simplificar a integral envolvendo um produto de funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
A ideia é escolher qual parte da integral será u e qual será dv. Normalmente, escolhemos u como a função que simplifica quando derivada.

Passo 3

Vamos fazer as seguintes escolhas:
  • u = ln^2x
    Isso porque ao derivar, vamos reduzir o expoente do logaritmo.
  • dv = x , dx
    Essa parte é simples de integrar.
Agora, precisamos calcular du e v.

Passo 4

Calculando du:
du = ddx (ln^2x) , dx = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx
Integrando dv para achar v:
v = integral x , dx = 12x^2

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x ln^2x , dx = u v - integral v , du = ln^2x cdot 12x^2 - integral 12x^2 cdot 2 ln xx , dx
Simplificando a integral:
12x^2 ln^2x - integral x ln x , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral integral x ln x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhemos:
  • u = ln x
    Assim, ao derivar, simplificamos a expressão.
  • dv = x , dx
Calculando du e v:
du = 1x , dx
v = integral x , dx = 12x^2

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes nessa nova integral:
integral x ln x , dx = u v - integral v , du = ln x cdot 12x^2 - integral 12x^2 cdot 1x , dx
Simplificando:
12x^2 ln x - 12 integral x , dx = 12x^2 ln x - 14x^2 + C

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
12x^2 ln^2x - ( 12x^2 ln x - 14x^2 ) + C
Simplificando:
12x^2 ln^2x - 12x^2 ln x + 14x^2 + C

Resposta

integral x ln^2x , dx = 12x^2 ln^2x - 12x^2 ln x + 14x^2 + C

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