Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Prove que
Passo 1
Então, a gente tem que provar que
. Isso está ligado aos conceitos de valor absoluto e potência, que são temas de Cálculo 1 e 2. Vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como elevar um número ao quadrado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número
, escrito como
, é a distância desse número até zero na reta numérica. Ou seja, se
for positivo,
, e se for negativo,
.
Passo 3
Agora, vamos elevar ambos os lados do valor absoluto ao quadrado. Então temos
. Sabemos que quando elevamos um número ao quadrado, o resultado é sempre positivo ou zero, independentemente do sinal do número original.
Passo 4
Vamos analisar os casos:
-
Se
for positivo ou zero: , então . -
Se
for negativo: (que é positivo), então .
Passo 5
Em ambos os casos, seja
positivo, negativo ou zero, temos que
. Isso mostra que elevar o valor absoluto de
ao quadrado é o mesmo que elevar
ao quadrado diretamente.
Resposta
Portanto, concluímos que
para qualquer número real
.
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Encontre o volume da região em
limitada acima pela esfera
e abaixo pela superfície
.
(Resp.: onde
)
(Resp.:
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Calcule a integral de
sobre o sólido que está acima do plano
e abaixo do cone
e que seja interior ao cilindro
e exterior ao cilindro
. (Resp.:
.)