Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Demonstre que a soma dos limites é igual ao limite da soma para funções de duas variáveis reais cujo limite existe.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos provar que, para funções de duas variáveis reais, a soma dos limites é igual ao limite da soma, desde que o limite exista. Isso está relacionado aos teoremas de cálculo que tratam das propriedades dos limites. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição de limite para funções de duas variáveis e usar as propriedades básicas dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que, à medida que se aproxima de , o valor de se aproxima de .

Passo 3

Agora, suponha que temos duas funções e que têm limites quando se aproxima de :
E também que:
Queremos provar que .

Passo 4

Vamos usar a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é igual à soma dos limites, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
Substituindo pelos valores que assumimos:
Isso mostra que a soma dos limites é igual ao limite da soma .

Resposta

Assim, provamos que para funções de duas variáveis reais cujo limite existe, a soma dos limites é igual ao limite da soma:

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