Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Demonstre que a soma dos limites é igual ao limite da soma para funções de duas variáveis reais cujo limite existe.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos provar que, para funções de duas variáveis reais, a soma dos limites é igual ao limite da soma, desde que o limite exista. Isso está relacionado aos teoremas de cálculo que tratam das propriedades dos limites. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição de limite para funções de duas variáveis e usar as propriedades básicas dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que, à medida que
se aproxima de
, o valor de
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, suponha que temos duas funções
e
que têm limites quando
se aproxima de
:
E também que:
Queremos provar que
.
Passo 4
Vamos usar a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é igual à soma dos limites, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
Substituindo pelos valores que assumimos:
Isso mostra que a soma dos limites
é igual ao limite da soma
.
Resposta
Assim, provamos que para funções de duas variáveis reais cujo limite existe, a soma dos limites é igual ao limite da soma:
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Calcule a integral de
sobre o sólido que está acima do plano
e abaixo do cone
e que seja interior ao cilindro
e exterior ao cilindro
. (Resp.:
.)
(a) Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera
e por baixo pelo cone
, onde
, é