Calcule a integral de superfície.
b)
,
é a parte do plano
que está no primeiro octante
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante. Esse tipo de integral faz parte do assunto de Cálculo Integral, especificamente de integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular o elemento de área correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde estamos trabalhando. O primeiro octante significa que todas as coordenadas
,
e
são positivas ou zero. Então, no plano
, os pontos que pertencem ao primeiro octante satisfazem
,
e
.
Passo 3
Vamos parametrizar o plano para facilitar a integração. Podemos expressar
em função de
e
:
Dessa forma, nossa superfície
está descrita por essa equação no primeiro octante.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
para a integral de superfície. Quando a superfície está descrita como
, o elemento de área é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão do
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na integral de superfície:
Aqui,
é a projeção da superfície
no plano
, que é o triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 7
Vamos estabelecer os limites de integração para
e
. Para
, o intervalo é de
a
. Para cada valor de
,
vai de
a
. Assim, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Simplificando a expressão obtida:
Passo 10
Agora, a integral fica:
Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
Portanto, a integral de superfície é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação
para
.
Seja
. Determine o fluxo de
através da parte do parabolóide
que está acima do plano
e está orientada para baixo.
.
Resolva as seguintes desigualdades:
g)
g)
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
16) .
16)