Calcule a integral de superfície.
b) integral duplaS y z d S, S é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante raiz324.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS y z, dS, onde S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante. Esse tipo de integral faz parte do assunto de Cálculo Integral, especificamente de integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular o elemento de área correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde estamos trabalhando. O primeiro octante significa que todas as coordenadas x, y e z são positivas ou zero. Então, no plano x + y + z = 1, os pontos que pertencem ao primeiro octante satisfazem x >= 0, y >= 0 e z >= 0.

Passo 3

Vamos parametrizar o plano para facilitar a integração. Podemos expressar z em função de x e y:
z = 1 - x - y
Dessa forma, nossa superfície S está descrita por essa equação no primeiro octante.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS para a integral de superfície. Quando a superfície está descrita como z = f(x, y), o elemento de área é dado por:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx, dy
Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.

Passo 5

Calculando as derivadas:
partial zpartial x = -1 partial zpartial y = -1
Substituindo na expressão do dS:
dS = raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 , dx, dy = raiz1 + 1 + 1 , dx, dy = raiz3, dx, dy

Passo 6

Agora, substituímos z e dS na integral de superfície:
integral duplaS y z, dS = integral duplaD y (1 - x - y) raiz3, dx, dy
Aqui, D é a projeção da superfície S no plano xy, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).

Passo 7

Vamos estabelecer os limites de integração para x e y. Para x, o intervalo é de 0 a 1. Para cada valor de x, y vai de 0 a 1 - x. Assim, a integral fica:
raiz3 integral0^1 integral0^1 - x y (1 - x - y) , dy, dx

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral0^1 - x y (1 - x - y) , dy = integral0^1 - x (y - x y - y^2) , dy
Integrando termo a termo:
[ y^22 - x y^22 - y^33 ]0^1 - x = (1 - x)^22 - x (1 - x)^22 - (1 - x)^33

Passo 9

Simplificando a expressão obtida:
(1 - x)^22 - x (1 - x)^22 - (1 - x)^33 = (1 - x)^32 - (1 - x)^33 = ( 12 - 13 ) (1 - x)^3 = 16 (1 - x)^3

Passo 10

Agora, a integral fica:
raiz3 integral0^1 (1 - x)^36 , dx = raiz36 integral0^1 (1 - x)^3 , dx
Calculando a integral:
integral (1 - x)^3 , dx = -(1 - x)^44 (avaliado de 0 a 1)
Substituindo os limites:
- 0^44 + 1^44 = 14

Resposta

Portanto, a integral de superfície é:
raiz36 times 14 = raiz324

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