No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
16) lim sin kk.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da sequência . Esse exercício está ligado ao estudo de limites de sequências e usa um pouco de trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções seno e o comportamento de frações quando o denominador cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno tem valores que sempre ficam entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin k <= 1
Isso é uma propriedade fundamental da função seno.

Passo 3

Agora, vamos dividir todos os lados dessa desigualdade por -1k <= sin kk <= 1k . Como é um número positivo que está aumentando para o infinito, a desigualdade se mantém:

Passo 4

Em seguida, analisamos o comportamento dos limites das extremidades quando limk to infty -1k = 0 e limk to infty 1k = 0 tende ao infinito:
Isso mostra que tanto quanto se aproximam de 0 à medida que cresce.

Passo 5

Por fim, aplicamos o Teorema do Aperto (ou Teorema da Casa dos Três), que diz que se uma sequência está entre duas outras que têm o mesmo limite, então essa sequência também tende a esse limite. Como limk to infty sin kk = 0 e ambos tendem a 0, então:

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é 0.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes desigualdades:
g) arctg x > arccotg x
Calcule a integral de superfície.
b) integral duplaS y z d S, S é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante raiz324.
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
20) lim (1-1k^2)^k.
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a) d y/d x = x (x^2 + 3)^4