No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
16)
.
16)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da sequência
. Esse exercício está ligado ao estudo de limites de sequências e usa um pouco de trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções seno e o comportamento de frações quando o denominador cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno tem valores que sempre ficam entre -1 e 1, ou seja:
Isso é uma propriedade fundamental da função seno.
Passo 3
Agora, vamos dividir todos os lados dessa desigualdade por
. Como
é um número positivo que está aumentando para o infinito, a desigualdade se mantém:
Passo 4
Em seguida, analisamos o comportamento dos limites das extremidades quando
tende ao infinito:
Isso mostra que tanto
quanto
se aproximam de 0 à medida que
cresce.
Passo 5
Por fim, aplicamos o Teorema do Aperto (ou Teorema da Casa dos Três), que diz que se uma sequência está entre duas outras que têm o mesmo limite, então essa sequência também tende a esse limite. Como
e
ambos tendem a 0, então:
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes desigualdades:
g)
g)
Calcule a integral de superfície.
b) ,
é a parte do plano
que está no primeiro octante
.
b)
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
20) .
20)
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)