Resolva a equação x y'' + y' = 1 para x > 0.
R: y = c1 ln x + c2 + x
2 / 2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial para . Esse problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, precisamos entender conceitos como derivadas e métodos para solucionar equações diferenciais não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por (já que ):
Isso transforma a equação em uma forma mais manejável.

Passo 3

Observamos que a equação é linear e pode ser escrita na forma padrão:
No nosso caso, , e .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Essa é uma equação de Cauchy-Euler, cuja solução geral é:
onde e são constantes de integração.

Passo 6

Agora, encontramos uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos supor que , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação:
Isso nos dá , portanto, .

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja F(x, y, z) = z arctg(y^2) i + z^3 ln(x^2 + 1) j + z k. Determine o fluxo de F através da parte do parabolóide x^2 + y^2 + z = 2 que está acima do plano z = 1 e está orientada para baixo. 3*pi/2.
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
y'' + 6y' + 9y = e^(-3x) / x^3
R: y = (1/(2 x) + c1 + c2 x) e^(-3 x)
Calcule a integral de superfície.
b) integral duplaS y z d S, S é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante raiz324.
Resolva as seguintes desigualdades:
g) arctg x > arccotg x