Resolva a equação
para
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
para
. Esse problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, precisamos entender conceitos como derivadas e métodos para solucionar equações diferenciais não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(já que
):
Isso transforma a equação em uma forma mais manejável.
Passo 3
Observamos que a equação é linear e pode ser escrita na forma padrão:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Essa é uma equação de Cauchy-Euler, cuja solução geral é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Agora, encontramos uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos supor que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Isso nos dá
, portanto,
.
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
. Determine o fluxo de
através da parte do parabolóide
que está acima do plano
e está orientada para baixo.
.
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
Calcule a integral de superfície.
b) ,
é a parte do plano
que está no primeiro octante
.
b)
Resolva as seguintes desigualdades:
g)
g)