Seja
. Determine o fluxo de
através da parte do parabolóide
que está acima do plano
e está orientada para baixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo vetorial
através de uma parte de um parabolóide
que está acima do plano
e orientada para baixo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o fluxo de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o fluxo através de uma superfície e como determinar a orientação correta dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície. Matematicamente, é calculado pela integral dupla do produto escalar do campo vetorial
pelo vetor normal
da superfície:
Neste caso, a superfície
é a parte do parabolóide
acima de
, e queremos a orientação para baixo, ou seja, o vetor normal aponta para baixo.
Passo 3
Vamos começar a parametrizar a superfície. Como temos um parabolóide, podemos resolver a equação para
:
Para facilitar os cálculos, é bom usar coordenadas polares, já que a superfície é simétrica em torno do eixo
. Assim, fazemos:
Onde
varia de 0 até o valor que z = 1, ou seja:
Então,
vai de 0 a 1 e
vai de 0 a
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar o vetor normal orientado para baixo. Para isso, vamos calcular o vetor normal usando o gradiente da função que define a superfície. A função é:
O vetor normal é dado por:
Como queremos a orientação para baixo, o vetor normal deve apontar na direção negativa do eixo
. Então, ajustamos o vetor normal:
Mas para simplificar, como vamos integrar, podemos usar o vetor normal não unitário e considerar o sinal negativo.
Passo 5
Vamos agora expressar o vetor
na parametrização que usamos. Substituindo
,
e
na expressão de
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
. Como
tem componentes
e estamos orientando para baixo, o fluxo será:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, integramos essa expressão sobre a região em coordenadas polares (
de 0 a 1 e
de 0 a
):
Essa integral pode ser resolvida por métodos numéricos ou simplificada devido à simetria, resultando em um valor final.
Resposta
O fluxo de
através da parte do parabolóide acima de
orientada para baixo é
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
Resolva as equações exponenciais:
c)
c)
Resolva a equação
para
.
Calcule a integral de superfície.
b) ,
é a parte do plano
que está no primeiro octante
.
b)