Pode-se obter aproximações de raiz(k) utilizando a sequência recursiva u_{n+1} = 1/2 (u_{n} + k/u_{n}), onde u1 = 1/2.
(a) Encontre as aproximações u2, u3, u4, u5, u6 para raiz(10).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar aproximações para √10 usando uma sequência recursiva definida por , começando com . Aqui, estamos aplicando um método iterativo conhecido como método de Newton ou método de aproximação de raízes. Vamos precisar calcular cada termo da sequência até chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da sequência recursiva:
Isso significa que, para encontrar o próximo termo , a gente pega o termo atual , divide 10 por ele, soma com , e depois multiplica tudo por 1/2. Esse método é útil porque, com cada cálculo, a gente se aproxima mais de .

Passo 3

Vamos calcular :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos para :
Primeiro, calculamos :
Então:
Portanto, .

Passo 5

Vamos continuar para :
Calculando :
Então:
Assim, .

Passo 6

Agora, vamos para :
Calculando :
Então:
Portanto, .

Passo 7

Finalmente, vamos calcular :
Calculando :
Então:
Assim, .

Resposta

As aproximações de são:

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