Pode-se obter aproximações de
utilizando a sequência recursiva
, onde
.
(a) Encontre as aproximações
para
.
(a) Encontre as aproximações
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar aproximações para √10 usando uma sequência recursiva definida por
, começando com
. Aqui, estamos aplicando um método iterativo conhecido como método de Newton ou método de aproximação de raízes. Vamos precisar calcular cada termo da sequência até chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da sequência recursiva:
Isso significa que, para encontrar o próximo termo
, a gente pega o termo atual
, divide 10 por ele, soma com
, e depois multiplica tudo por 1/2. Esse método é útil porque, com cada cálculo, a gente se aproxima mais de
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos para
:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Portanto,
.
Passo 5
Vamos continuar para
:
Calculando
:
Então:
Assim,
.
Passo 6
Agora, vamos para
:
Calculando
:
Então:
Portanto,
.
Passo 7
Finalmente, vamos calcular
:
Calculando
:
Então:
Assim,
.
Resposta
As aproximações de
são: