Calcule o momento de inércia da superfície homogênea z = x^2 + y^2, 0 <= z <= 1, em torno do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia da superfície homogênea definida por no intervalo , em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de momentos de inércia em superfícies, utilizando coordenadas cilíndricas que facilitam a integração devido à simetria do problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o momento de inércia em torno do eixo para uma superfície é dado pela integral dupla:
Aqui, é a densidade superficial homogênea da superfície, e é um elemento de área na superfície.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque a superfície se transforma em nas coordenadas . Nesse sistema, e .
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área para a superfície é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Substituindo na expressão do momento de inércia e integrando sobre a superfície:
Simplificando:
Primeiro, integramos em relação a :
Vamos fazer uma substituição para resolver a integral .
Deixe , então , ou seja, .
Expressando em termos de :
Mas como , rearranjamos para . Substituindo tudo na integral e simplificando, eventualmente encontramos:
Calculando os valores:

Resposta

O momento de inércia da superfície em torno do eixo é:

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