Calcule o momento de inércia da superfície homogênea
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia da superfície homogênea definida por
no intervalo
, em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de momentos de inércia em superfícies, utilizando coordenadas cilíndricas que facilitam a integração devido à simetria do problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o momento de inércia
em torno do eixo
para uma superfície é dado pela integral dupla:
Aqui,
é a densidade superficial homogênea da superfície, e
é um elemento de área na superfície.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque a superfície
se transforma em
nas coordenadas
. Nesse sistema,
e
.
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área
para a superfície
é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Substituindo
na expressão do momento de inércia e integrando sobre a superfície:
Simplificando:
Primeiro, integramos em relação a
:
Vamos fazer uma substituição para resolver a integral
.
Deixe
, então
, ou seja,
.
Expressando
em termos de
:
Mas como
, rearranjamos para
. Substituindo tudo na integral e simplificando, eventualmente encontramos:
Calculando os valores:
Resposta
O momento de inércia da superfície em torno do eixo
é: