Calcule a integral de superfície: , é a parte do cilindro entre os planos e , justamente com os discos inferior e superior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície:
Aqui, é a parte do cilindro entre os planos e , incluindo os discos inferior e superior.
Para resolver isso, precisamos entender o que é uma integral de superfície e como parametrizar cada parte da superfície . Vamos dividir o problema em partes menores e calcular cada uma separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a superfície :
  1. A parte lateral do cilindro: de a .
  2. O disco inferior: onde .
  3. O disco superior: onde .
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes e depois somar os resultados.

Passo 3

Parte Lateral do Cilindro:
Para parametrizar a parte lateral, usamos coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
onde varia de a e varia de a .
O elemento de área na parte lateral é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Agora, substituímos e na função integranda:
Então, a integral na parte lateral é:

Passo 4

Vamos calcular agora a integral na parte lateral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos de volta:
Integrando em relação a :
Integral na parte lateral:

Passo 5

Disco Inferior ( ):
Aqui, , e a equação do cilindro nos dá um círculo de raio 3 no plano .
Usamos coordenadas polares para parametrizar o disco:
onde varia de a e de a .
O elemento de área em coordenadas polares é:
Substituindo na função integranda:
Então, a integral no disco inferior é:

Passo 6

Calculando a integral no disco inferior:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos de volta:
Integral no disco inferior:

Passo 7

Disco Superior ( ):
Semelhante ao disco inferior, mas agora .
Parametrizamos o disco superior:
onde varia de a e de a .
O elemento de área é o mesmo:
Substituindo na função integranda:
Então, a integral no disco superior é:

Passo 8

Calculando a integral no disco superior:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos de volta:
Integral no disco superior:

Passo 9

Agora, somamos todas as integrais calculadas:
  1. Parte lateral:
  2. Disco inferior:
  3. Disco superior:
Somando:

Resposta

A integral de superfície é .

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Calcule
(a) .
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