Calcule a integral de superfície: , é a parte do cilindro entre os planos e , justamente com os discos inferior e superior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície:
Aqui, é a parte do cilindro entre os planos e , incluindo os discos inferior e superior.
Para resolver isso, precisamos entender o que é uma integral de superfície e como parametrizar cada parte da superfície . Vamos dividir o problema em partes menores e calcular cada uma separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a superfície :
A parte lateral do cilindro: de a .
O disco inferior: onde .
O disco superior: onde .
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes e depois somar os resultados.
Passo 3
Parte Lateral do Cilindro:
Para parametrizar a parte lateral, usamos coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
onde varia de a e varia de a .
O elemento de área na parte lateral é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Agora, substituímos e na função integranda:
Então, a integral na parte lateral é:
Passo 4
Vamos calcular agora a integral na parte lateral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos de volta:
Integrando em relação a :
Integral na parte lateral:
Passo 5
Disco Inferior ():
Aqui, , e a equação do cilindro nos dá um círculo de raio 3 no plano .
Usamos coordenadas polares para parametrizar o disco: