Calcule a integral de superfície: integral duplaS(x^2+y^2+z^2) d S, S é a parte do cilindro x^2+y^2=9 entre os planos z=0 e z=2, justamente com os discos inferior e superior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície:
integral duplaS(x^2+y^2+z^2) dS
Aqui, é a parte do cilindro entre os planos e , incluindo os discos inferior e superior.
Para resolver isso, precisamos entender o que é uma integral de superfície e como parametrizar cada parte da superfície . Vamos dividir o problema em partes menores e calcular cada uma separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a superfície :
  1. A parte lateral do cilindro: de a .
  2. O disco inferior: onde .
  3. O disco superior: onde .
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes e depois somar os resultados.

Passo 3

Parte Lateral do Cilindro:
Para parametrizar a parte lateral, usamos coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
x = 3costheta, y = 3sintheta, z = z
onde dS = raiz(partial xpartial theta)^2 + (partial ypartial theta)^2 + (partial zpartial theta)^2 , dtheta , dz varia de partial xpartial theta = -3sintheta, partial ypartial theta = 3costheta, partial zpartial theta = 0 a dS = raiz(-3sintheta)^2 + (3costheta)^2 , dtheta , dz = raiz9sin^2theta + 9cos^2theta , dtheta , dz = raiz9(sin^2theta + cos^2theta) , dtheta , dz = 3 , dtheta , dz e x^2 + y^2 + z^2 = 9 + z^2 varia de integral0^2 integral0^2pi (9 + z^2) cdot 3 , dtheta , dz a .
O elemento de área na parte lateral é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Agora, substituímos e na função integranda:
Então, a integral na parte lateral é:

Passo 4

Vamos calcular agora a integral na parte lateral:
integral0^2 integral0^2pi (9 + z^2) cdot 3 , dtheta , dz = 3 integral0^2 integral0^2pi (9 + z^2) , dtheta , dz
Primeiro, integramos em relação a integral0^2pi (9 + z^2) , dtheta = (9 + z^2) cdot theta |0^2pi = (9 + z^2) cdot 2pi :
3 integral0^2 (9 + z^2) cdot 2pi , dz = 6pi integral0^2 (9 + z^2) , dz
Agora, substituímos de volta:
6pi [ 9z + z^33 ]0^2 = 6pi ( 9 cdot 2 + 83 - 0 ) = 6pi ( 18 + 83 ) = 6pi cdot 623 = 124pi
Integrando em relação a :
Integral na parte lateral:

Passo 5

Disco Inferior ( x = rcostheta, y = rsintheta, z = 0 ):
Aqui, dS = r , dr , dtheta , e a equação do cilindro x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + 0 = r^2 nos dá um círculo de raio 3 no plano integral0^2pi integral0^3 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 r^3 , dr , dtheta .
Usamos coordenadas polares para parametrizar o disco:
onde varia de a e de a .
O elemento de área em coordenadas polares é:
Substituindo na função integranda:
Então, a integral no disco inferior é:

Passo 6

Calculando a integral no disco inferior:
integral0^2pi integral0^3 r^3 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral0^3 r^3 , dr = r^44 |0^3 = 814 :
integral0^2pi 814 , dtheta = 814 cdot 2pi = 812pi
Agora, substituímos de volta:
Integral no disco inferior:

Passo 7

Disco Superior ( x = rcostheta, y = rsintheta, z = 2 ):
Semelhante ao disco inferior, mas agora dS = r , dr , dtheta .
Parametrizamos o disco superior:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + 4
onde integral0^2pi integral0^3 (r^2 + 4) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 (r^3 + 4r) , dr , dtheta varia de a e de a .
O elemento de área é o mesmo:
Substituindo na função integranda:
Então, a integral no disco superior é:

Passo 8

Calculando a integral no disco superior:
integral0^2pi integral0^3 (r^3 + 4r) , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral0^3 (r^3 + 4r) , dr = r^44 + 2r^2 |0^3 = 814 + 18 = 814 + 724 = 1534 :
integral0^2pi 1534 , dtheta = 1534 cdot 2pi = 1532pi
Agora, substituímos de volta:
Integral no disco superior:

Passo 9

Agora, somamos todas as integrais calculadas:
  1. Parte lateral: 124pi + 812pi + 1532pi = 124pi + 81 + 1532pi = 124pi + 2342pi = 124pi + 117pi = 241pi
  2. Disco inferior:
  3. Disco superior:
Somando:

Resposta

A integral de superfície é .

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