Calcule a integral de superfície: , é a parte do cilindro entre os planos e , justamente com os discos inferior e superior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície:
Aqui, é a parte do cilindro entre os planos e , incluindo os discos inferior e superior.
Para resolver isso, precisamos entender o que é uma integral de superfície e como parametrizar cada parte da superfície . Vamos dividir o problema em partes menores e calcular cada uma separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a superfície :
A parte lateral do cilindro: de a .
O disco inferior: onde .
O disco superior: onde .
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes e depois somar os resultados.
Passo 3
Parte Lateral do Cilindro:
Para parametrizar a parte lateral, usamos coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Disco Inferior ( x = rcostheta, y = rsintheta, z = 0 ):
Aqui, dS = r , dr , dtheta , e a equação do cilindro x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + 0 = r^2 nos dá um círculo de raio 3 no plano integral0^2pi integral0^3 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 r^3 , dr , dtheta .
Usamos coordenadas polares para parametrizar o disco:
onde varia de a e de a .
O elemento de área em coordenadas polares é:
Substituindo na função integranda:
Então, a integral no disco inferior é:
Passo 6
Calculando a integral no disco inferior:
integral0^2pi integral0^3 r^3 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral0^3 r^3 , dr = r^44 |0^3 = 814 :
integral0^2pi 814 , dtheta = 814 cdot 2pi = 812pi
Agora, substituímos de volta:
Integral no disco inferior:
Passo 7
Disco Superior ( x = rcostheta, y = rsintheta, z = 2 ):
Semelhante ao disco inferior, mas agora dS = r , dr , dtheta .
Parametrizamos o disco superior:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + 4
onde integral0^2pi integral0^3 (r^2 + 4) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 (r^3 + 4r) , dr , dtheta varia de a e de a .
O elemento de área é o mesmo:
Substituindo na função integranda:
Então, a integral no disco superior é:
Passo 8
Calculando a integral no disco superior:
integral0^2pi integral0^3 (r^3 + 4r) , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral0^3 (r^3 + 4r) , dr = r^44 + 2r^2 |0^3 = 814 + 18 = 814 + 724 = 1534 :