Calcule
(a)
.
(b)
, onde
e
é uma constante.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para calcular dois limites:
(a)
(b)
, onde
e
é uma constante real.
Vamos precisar de alguns conceitos de limites e derivadas para resolver esses problemas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). O limite envolve raízes quadradas e uma expressão fração que está no formato
quando
se aproxima de
, o que é uma indeterminação. Então, precisamos simplificar essa expressão.
Passo 3
Para resolver isso, uma técnica comum é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Isso vai ajudar a eliminar a raiz no numerador.
Passo 4
Vamos multiplicar:
Passo 5
Simplificando os quadrados das raízes:
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e no denominador:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Esse limite é a definição da derivada de
em
.
A derivada de
é
.
Então, substituindo
:
Resposta
(a)
(b)
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície:
,
é a parte do cilindro
entre os planos
e
, justamente com os discos inferior e superior.
Determine se a série converge e, em caso afirmativo, encontre o valor da soma:
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências:
Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
e a superfície
. Para superfícies fechadas, use a orientação(para o exterior) positiva.
,
é o hemisfério
, orientado na direção do eixo positivo
.