Calcule
(a) lim x a raizx-raizax-a.
(b) lim h 0 f(a+h)-f(a)h, onde f(x)=e^x e a in R é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para calcular dois limites:
(a)
(b) , onde e é uma constante real.
Vamos precisar de alguns conceitos de limites e derivadas para resolver esses problemas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). O limite envolve raízes quadradas e uma expressão fração que está no formato quando se aproxima de , o que é uma indeterminação. Então, precisamos simplificar essa expressão.

Passo 3

Para resolver isso, uma técnica comum é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é . Isso vai ajudar a eliminar a raiz no numerador.

Passo 4

Vamos multiplicar:
raizx - raizax - a times raizx + raizaraizx + raiza = (raizx)^2 - (raiza)^2(x - a)(raizx + raiza)

Passo 5

Simplificando os quadrados das raízes:
x - a(x - a)(raizx + raiza)
Agora, podemos cancelar o termo 1raizx + raiza no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando limx a 1raizx + raiza = 1raiza + raiza = 12raiza se aproxima de :

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Esse limite é a definição da derivada de f'(a) = e^a em .
A derivada de é .
Então, substituindo :

Resposta

(a)
(b)

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