Determine se a série converge e, em caso afirmativo, encontre o valor da soma:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente ver se a série converge e, se sim, qual é a soma dela. Isso envolve conceitos de séries infinitas e convergência, além de manipulação de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série. Olha só:
Então, a série original fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que é uma série geométrica. Uma série geométrica é do tipo , onde é o primeiro termo e é a razão comum.
No nosso caso, podemos reescrever a série começando de :
A série é uma série geométrica com e . Sabemos que uma série geométrica converge se e a soma é dada por .

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Então,

Resposta

A série converge e a soma dela é .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações exponenciais:
Mostre que
Calcule a integral de superfície: , é a parte do cilindro entre os planos e , justamente com os discos inferior e superior.
Calcule
(a) .
(b) , onde e é uma constante.