Determine se a série converge e, em caso afirmativo, encontre o valor da soma: sumk=1^+infty(12^k-12^k+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente ver se a série converge e, se sim, qual é a soma dela. Isso envolve conceitos de séries infinitas e convergência, além de manipulação de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série. Olha só:
12^k - 12^k+1 = 12^k - 12 cdot 2^k = 12^k - 12^k+1 = 12^k (1 - 12) = 12^k cdot 12 = 12^k+1
Então, a série original fica:
sumk=1^+infty (12^k - 12^k+1) = sumk=1^+infty 12^k+1

Passo 3

Agora, reconhecemos que sumk=1^+infty 12^k+1 = 12 sumk=1^+infty 12^k = 12 (sumk=0^+infty 12^k - 1) é uma série geométrica. Uma série geométrica é do tipo , onde é o primeiro termo e é a razão comum.
No nosso caso, podemos reescrever a série começando de :
A série é uma série geométrica com e . Sabemos que uma série geométrica converge se e a soma é dada por .

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
sumk=0^+infty 12^k = 11 - 12 = 2
Então,
sumk=1^+infty 12^k+1 = 12 (2 - 1) = 12

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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