Determine se a série converge e, em caso afirmativo, encontre o valor da soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente ver se a série
converge e, se sim, qual é a soma dela. Isso envolve conceitos de séries infinitas e convergência, além de manipulação de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série. Olha só:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que
é uma série geométrica. Uma série geométrica é do tipo
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum.
No nosso caso, podemos reescrever a série começando de
:
A série
é uma série geométrica com
e
. Sabemos que uma série geométrica converge se
e a soma é dada por
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Então,
Resposta
A série converge e a soma dela é
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Mostre que
Calcule a integral de superfície:
,
é a parte do cilindro
entre os planos
e
, justamente com os discos inferior e superior.
Calcule
(a) .
(b) , onde
e
é uma constante.
(a)
(b)