Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências: sumk=0^+infty (2 k+1)!k^3(x-2)^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma série de potências: e precisa descobrir qual é o raio de convergência dessa série e qual é o intervalo onde ela realmente converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em valores de L = limk to infty | ak+1ak | , a série de potências converge. Para encontrá-lo, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
Se esse limite existir e for igual a , então o raio de convergência é dado por .

Passo 3

Vamos identificar os termos da série. Aqui, ak+1ak = (2(k+1)+1)!(k+1)^3(x-2)^k+1 times k^3(2k+1)!(x-2)^-k = (2k+3)!(2k+1)! times k^3(k+1)^3 times (x-2) . Agora, vamos calcular :

Passo 4

Simplificando a expressão (2k+3)!(2k+1)! = (2k+2)(2k+3) :
ak+1ak = (2k+2)(2k+3) times k^3(k+1)^3 times (x-2)
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty | (2k+2)(2k+3) times k^3(k+1)^3 times (x-2) | tende ao infinito:
(2k+2)(2k+3) approx 4k^2 e k^3(k+1)^3 approx 1
Primeiro, simplificamos os termos de L approx limk to infty |4k^2 times 1 times (x-2)| = limk to infty |4k^2(x-2)| :
Então, o limite fica aproximadamente:

Passo 6

Observamos que conforme cresce, tende a infinito, a menos que , ou seja, . Isso significa que a série só converge quando .

Passo 7

Portanto, o raio de convergência é 0, porque a série não converge para nenhum diferente de 2. O intervalo de convergência é simplesmente o ponto .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas o ponto .

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