Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma série de potências: e precisa descobrir qual é o raio de convergência dessa série e qual é o intervalo onde ela realmente converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em valores de , a série de potências converge. Para encontrá-lo, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
Se esse limite existir e for igual a , então o raio de convergência é dado por .

Passo 3

Vamos identificar os termos da série. Aqui, . Agora, vamos calcular :

Passo 4

Simplificando a expressão :
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Primeiro, simplificamos os termos de :
Então, o limite fica aproximadamente:

Passo 6

Observamos que conforme cresce, tende a infinito, a menos que , ou seja, . Isso significa que a série só converge quando .

Passo 7

Portanto, o raio de convergência é 0, porque a série não converge para nenhum diferente de 2. O intervalo de convergência é simplesmente o ponto .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas o ponto .

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(a) .
(b) , onde e é uma constante.
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Resolva as seguintes equações exponenciais: