Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma série de potências: e precisa descobrir qual é o raio de convergência dessa série e qual é o intervalo onde ela realmente converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em valores de , a série de potências converge. Para encontrá-lo, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
Se esse limite existir e for igual a , então o raio de convergência é dado por .
Passo 3
Vamos identificar os termos da série. Aqui, . Agora, vamos calcular :
Passo 4
Simplificando a expressão :
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Primeiro, simplificamos os termos de :
Então, o limite fica aproximadamente:
Passo 6
Observamos que conforme cresce, tende a infinito, a menos que , ou seja, . Isso significa que a série só converge quando .
Passo 7
Portanto, o raio de convergência é 0, porque a série não converge para nenhum diferente de 2. O intervalo de convergência é simplesmente o ponto .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas o ponto .