Usando dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
, onde
é a fronteira da região entre as duas parábolas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha
, onde
é a fronteira da região entre as parábolas
e
. Vamos usar dois métodos: diretamente e usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral diretamente. Isso significa parametrizar a curva
e calcular a integral em cada parte da curva. Mas antes, precisamos identificar a região e os pontos de interseção das parábolas
e
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde
e
se cruzam. Substituindo
da primeira equação na segunda:
Então, temos:
Fatorando:
Portanto,
ou
. Correspondendo a
:
- Se
, então . - Se
, então .
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a curva
, que é composta por duas partes:
- De
a pela parábola . - De
a pela parábola .
Vamos calcular a integral em cada parte e somar os resultados.
Passo 5
Parte 1:
, com
indo de 0 a 1.
Aqui, podemos expressar
em função de
:
Portanto,
.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Vamos chamar essa integral de
.
Passo 6
Parte 2:
, com
indo de 1 a 0.
Aqui, podemos expressar
em função de
:
Portanto,
.
Substituindo na integral:
Simplificando (e trocando os limites para de 0 a 1):
Vamos chamar essa integral de
.
Passo 7
Agora, somamos
e
para obter o valor total da integral de linha:
No entanto, essa abordagem direta pode ser bem trabalhosa devido à complexidade das integrais envolvidas. Por isso, vamos usar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.
Passo 8
Usando o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma região
com uma integral dupla sobre
. A fórmula é:
No nosso caso,
e
.
Passo 9
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
Passo 10
Agora, a integral dupla torna-se:
Então, precisamos calcular a área entre as parábolas
e
.
Passo 11
Para encontrar a área, observamos que a interseção ocorre em
e
. A região
está limitada por
e
.
Podemos expressar essa área como:
Mas uma abordagem mais simples é usar simetria e integrar em
:
Passo 12
Calculando a integral:
Passo 13
Portanto, pelo Teorema de Green, a integral de linha é igual à área da região
:
Resposta
A integral de linha
vale
.