Calcule a integral de superfície , onde e é o cilindro determinado por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de superfície do campo vetorial sobre o cilindro definido por onde varia de a e de a . Basicamente, vamos somar todas as contribuições do campo em cada ponto dessa superfície cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como parametrizar a superfície . A parametrização dada é . Isso significa que controla o ângulo ao redor do cilindro (de a ) e controla a altura do cilindro (de a ).

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, usamos a fórmula:
Aqui, é o domínio dos parâmetros e , e são as derivadas parciais da parametrização em relação a e , e representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, vamos encontrar o produto vetorial :

Passo 5

Agora, substituímos no campo :
Então, o produto escalar fica:
E sabemos que .

Passo 6

Agora, a integral fica bem mais simples:
Isso significa que estamos apenas integrando a função constante 1 sobre a região , que é o intervalo e .

Passo 7

Vamos calcular essa integral:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Predicativa: éçã
Enumerativa:
Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):
ã
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Se uma sequência , então também diverge.
Use o Teorema do Confronto para mostrar que: