Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(x, y, z) e S é o cilindro determinado por X(u, v)=(cos u, sen u, v),(u, v) in[0,2 pi] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de superfície do campo vetorial sobre o cilindro definido por onde varia de a e de a . Basicamente, vamos somar todas as contribuições do campo em cada ponto dessa superfície cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como parametrizar a superfície . A parametrização dada é . Isso significa que controla o ângulo ao redor do cilindro (de a ) e controla a altura do cilindro (de a ).

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, usamos a fórmula:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(X(u, v)) cdot (Xu times Xv) , du , dv
Aqui, é o domínio dos parâmetros e , e são as derivadas parciais da parametrização em relação a e , e representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Xu = partial Xpartial u = (-sen u, cos u, 0)
Agora, vamos encontrar o produto vetorial Xv = partial Xpartial v = (0, 0, 1) :

Passo 5

Agora, substituímos F(X(u, v)) = (cos u, sen u, v) no campo (cos u, sen u, v) cdot (cos u, sen u, 0) = cos^2 u + sen^2 u + v cdot 0 = cos^2 u + sen^2 u :
Então, o produto escalar fica:
E sabemos que .

Passo 6

Agora, a integral fica bem mais simples:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD 1 , du , dv
Isso significa que estamos apenas integrando a função constante 1 sobre a região , que é o intervalo e .

Passo 7

Vamos calcular essa integral:
integral duplaD 1 , du , dv = integral0^2pi integral0^1 1 , dv , du = integral0^2pi [ v ]0^1 du = integral0^2pi 1 , du = 2pi

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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