Calcule a integral de superfície
, onde
e
é o cilindro determinado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de superfície do campo vetorial
sobre o cilindro
definido por onde
varia de
a
e
de
a
. Basicamente, vamos somar todas as contribuições do campo
em cada ponto dessa superfície cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como parametrizar a superfície
. A parametrização dada é . Isso significa que
controla o ângulo ao redor do cilindro (de
a
) e
controla a altura do cilindro (de
a
).
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, usamos a fórmula:
Aqui,
é o domínio dos parâmetros
e
,
e
são as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
, e
representa o produto vetorial.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, vamos encontrar o produto vetorial
:
Passo 5
Agora, substituímos
no campo
:
Então, o produto escalar
fica:
E sabemos que .
Passo 6
Agora, a integral fica bem mais simples:
Isso significa que estamos apenas integrando a função constante 1 sobre a região
, que é o intervalo
e
.
Passo 7
Vamos calcular essa integral:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.