Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
lim n infty(1raizn^2+1+1raizn^2+2+ldots+1raizn^2+n)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teorema do Confronto para mostrar que o limite de uma soma de frações envolvendo tende a 1 quando vai para o infinito. Basicamente, precisamos entender como essa soma se comporta conforme aumenta muito. Vamos precisar conhecer o Teorema do Confronto e trabalhar com limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a soma que temos:
Sn = 1raizn^2+1 + 1raizn^2+2 + ldots + 1raizn^2+n
Essa soma tem termos, e cada termo tem a forma , onde varia de 1 a .

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas sequências que “limitam” 1raizn^2+n <= 1raizn^2+k <= 1raizn^2+1 por cima e por baixo, ambas com o mesmo limite. Observemos que para cada termo da soma:
Isso porque varia de 1 a , então é o menor denominador e é o maior.

Passo 4

Agora, somamos todas essas desigualdades de sumk=1^n 1raizn^2+n <= Sn <= sumk=1^n 1raizn^2+1 a nraizn^2+n <= Sn <= nraizn^2+1 :
Simplificando as somas, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada extremidade quando limn to infty nraizn^2+n = limn to infty 1raiz1 + 1n = 1raiz1 + 0 = 1 tende ao infinito.
Primeiro, para a parte da esquerda:
limn to infty nraizn^2+1 = limn to infty 1raiz1 + 1n^2 = 1raiz1 + 0 = 1
Agora, para a parte da direita:

Passo 6

Como os limites das duas extremidades são iguais a 1, pelo Teorema do Confronto, o limite da soma também é 1.

Resposta

O limite é igual a 1.

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