Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teorema do Confronto para mostrar que o limite de uma soma de frações envolvendo
tende a 1 quando
vai para o infinito. Basicamente, precisamos entender como essa soma se comporta conforme
aumenta muito. Vamos precisar conhecer o Teorema do Confronto e trabalhar com limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a soma que temos:
Essa soma tem
termos, e cada termo tem a forma
, onde
varia de 1 a
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas sequências que “limitam”
por cima e por baixo, ambas com o mesmo limite. Observemos que para cada termo da soma:
Isso porque
varia de 1 a
, então
é o menor denominador e
é o maior.
Passo 4
Agora, somamos todas essas desigualdades de
a
:
Simplificando as somas, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de cada extremidade quando
tende ao infinito.
Primeiro, para a parte da esquerda:
Agora, para a parte da direita:
Passo 6
Como os limites das duas extremidades são iguais a 1, pelo Teorema do Confronto, o limite da soma
também é 1.
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Se uma sequência , então
também diverge.
Se uma sequência
Calcule a integral de superfície
, onde
e
é o cilindro determinado por
.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Considere a superfície
gerada pela rotação da curva
, em torno do eixo
, parametrizada por
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de
, sabendo que a densidade é
.