Use o Teorema do Confronto para mostrar que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teorema do Confronto para mostrar que o limite de uma soma de frações envolvendo tende a 1 quando vai para o infinito. Basicamente, precisamos entender como essa soma se comporta conforme aumenta muito. Vamos precisar conhecer o Teorema do Confronto e trabalhar com limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a soma que temos:
Essa soma tem termos, e cada termo tem a forma , onde varia de 1 a .

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas sequências que “limitam” por cima e por baixo, ambas com o mesmo limite. Observemos que para cada termo da soma:
Isso porque varia de 1 a , então é o menor denominador e é o maior.

Passo 4

Agora, somamos todas essas desigualdades de a :
Simplificando as somas, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada extremidade quando tende ao infinito.
Primeiro, para a parte da esquerda:
Agora, para a parte da direita:

Passo 6

Como os limites das duas extremidades são iguais a 1, pelo Teorema do Confronto, o limite da soma também é 1.

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados

Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Se uma sequência , então também diverge.
Calcule a integral de superfície , onde e é o cilindro determinado por .
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Considere a superfície gerada pela rotação da curva , em torno do eixo , parametrizada por
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de , sabendo que a densidade é .