Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Se uma sequência
, então
também diverge.
Se uma sequência
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se uma sequência
diverge, então a sequência dos seus valores absolutos
também diverge.”
Aqui, estamos trabalhando com sequências numéricas e suas propriedades de convergência e divergência. Para resolver, vamos entender o que significa uma sequência divergir e como o uso do valor absoluto pode influenciar isso.
Aqui, estamos trabalhando com sequências numéricas e suas propriedades de convergência e divergência. Para resolver, vamos entender o que significa uma sequência divergir e como o uso do valor absoluto pode influenciar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência divergir. Uma sequência
diverge se ela não converge para nenhum número real. Isto é, ela não se aproxima de nenhum valor específico à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos considerar a sequência dos valores absolutos
. O valor absoluto de um número é sempre não negativo. Mesmo que
oscile entre positivos e negativos ou aumente sem limite,
também pode não se aproximar de nenhum valor específico.
Passo 4
Contudo, existe um contra-exemplo que mostra que a afirmação nem sempre é verdadeira. Considere a sequência
.
Esta sequência oscila entre e
, ou seja, não converge, logo diverge.
Agora, vamos olhar para a sequência dos valores absolutos: para todo
.
Esta sequência é constante e, portanto, converge para .
Esta sequência oscila entre
Agora, vamos olhar para a sequência dos valores absolutos:
Esta sequência é constante e, portanto, converge para
Passo 5
Esse exemplo demonstra que uma sequência divergente pode ter uma sequência de valores absolutos que converge. Logo, a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
Falso (F). Existe uma sequência divergente cujos valores absolutos convergem, como
.
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Calcule a integral de superfície
, onde
e
é o cilindro determinado por
.
Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Predicativa:
Enumerativa:
Formatos: Predicativa:
Enumerativa:
Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.