Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Se uma sequência {an}_{n ≥ 1}, então { |a_n| }_{n ≥ 1} também diverge.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se uma sequência {an}_{n ≥ 1} diverge, então a sequência dos seus valores absolutos { |a_n| }_{n ≥ 1} também diverge.”
Aqui, estamos trabalhando com sequências numéricas e suas propriedades de convergência e divergência. Para resolver, vamos entender o que significa uma sequência divergir e como o uso do valor absoluto pode influenciar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência divergir. Uma sequência a_n diverge se ela não converge para nenhum número real. Isto é, ela não se aproxima de nenhum valor específico à medida que n aumenta.

Passo 3

Agora, vamos considerar a sequência dos valores absolutos . O valor absoluto de um número é sempre não negativo. Mesmo que a_n oscile entre positivos e negativos ou aumente sem limite, também pode não se aproximar de nenhum valor específico.

Passo 4

Contudo, existe um contra-exemplo que mostra que a afirmação nem sempre é verdadeira. Considere a sequência .
Esta sequência oscila entre 1 e -1, ou seja, não converge, logo diverge.
Agora, vamos olhar para a sequência dos valores absolutos: para todo n.
Esta sequência é constante e, portanto, converge para 1.

Passo 5

Esse exemplo demonstra que uma sequência divergente pode ter uma sequência de valores absolutos que converge. Logo, a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

Falso (F). Existe uma sequência divergente cujos valores absolutos convergem, como .

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