Calcule a integral de superficie
em que
e
é a parte do cone
entre os planos
e
. orientação ascendente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
e
é a parte do cone
entre os planos
e
, com orientação ascendente. Para isso, vamos precisar entender integrais de superfície em cálculo vetorial e saber como parametrizar uma superfície de cone.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela mede a “fluxo” do campo vetorial
através da superfície
. Para calcular isso, precisamos parametrizar a superfície
de forma adequada.
Passo 3
Nosso cone é dado por
. Uma maneira comum de parametrizar um cone é usando coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Aqui,
varia de 1 a 2 (já que
vai de 1 a 2) e
varia de 0 a
.
Passo 4
Com a parametrização, podemos escrever o vetor posição
. Para encontrar o vetor diferencial de área
, precisamos calcular o produto cruzado das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas:
O produto cruzado dessas derivadas é:
Como queremos a orientação ascendente, mantemos essa direção para
.
Passo 6
Agora, substituímos
na parametrização:
Calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos isso sobre os limites de
de 1 a 2 e
de 0 a
:
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a
:
Convertendo para um denominador comum:
Então:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
: