Calcule a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(-x,-y, z^2) e S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z=2. orientação ascendente.
& pi6 pi & 733 pi & -736 pi & -733 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (-x, -y, z^2) e S é a parte do cone z = raizx^2 + y^2 entre os planos z = 1 e z = 2, com orientação ascendente. Para isso, vamos precisar entender integrais de superfície em cálculo vetorial e saber como parametrizar uma superfície de cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela mede a “fluxo” do campo vetorial F através da superfície S. Para calcular isso, precisamos parametrizar a superfície S de forma adequada.

Passo 3

Nosso cone é dado por z = raizx^2 + y^2. Uma maneira comum de parametrizar um cone é usando coordenadas cilíndricas, onde x = r costheta, y = r sintheta e z = r. Aqui, r varia de 1 a 2 (já que z vai de 1 a 2) e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Com a parametrização, podemos escrever o vetor posição r(r, theta) = (r costheta, r sintheta, r). Para encontrar o vetor diferencial de área dS, precisamos calcular o produto cruzado das derivadas parciais de r em relação a r e theta.

Passo 5

Calculando as derivadas:
partial rpartial r = (costheta, sintheta, 1)
partial rpartial theta = (-r sintheta, r costheta, 0)
O produto cruzado dessas derivadas é:
partial rpartial r times partial rpartial theta = (-r costheta, -r sintheta, r)
Como queremos a orientação ascendente, mantemos essa direção para dS.

Passo 6

Agora, substituímos F na parametrização:
F(r, theta) = (-r costheta, -r sintheta, r^2)
Calculamos o produto escalar F cdot dS:
F cdot dS = (-r costheta)(-r costheta) + (-r sintheta)(-r sintheta) + (r^2)(r) = r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta + r^3
Simplificando:
r^2 (cos^2theta + sin^2theta) + r^3 = r^2 (1) + r^3 = r^2 + r^3

Passo 7

Agora, integramos isso sobre os limites de r de 1 a 2 e theta de 0 a 2pi:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral1^2 (r^2 + r^3) , dr , dtheta

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a r:
integral1^2 (r^2 + r^3) , dr = [ r^33 + r^44 ]1^2 = ( 83 + 4 ) - ( 13 + 14 ) = ( 83 + 123 ) - ( 412 + 312 ) = 203 - 712
Convertendo para um denominador comum:
203 = 8012 e 712 já está em termos de 12 áá
Então:
8012 - 712 = 7312

Passo 9

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 7312 , dtheta = 7312 times 2pi = 736 pi

Resposta

736 pi

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& 16(11-10 e) & (11-10 e) & 12(11-10 e) & 13(5 e) & 12(5 e)
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12
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92