Determine a integral de superfície
, em que
é a superfície definida pelo parte do plano
que está no primeiro
octante.
octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície! O exercício pede para calcular
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante. Isso significa que todas as coordenadas
,
e
são positivas ou zero. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral usando cálculos multivariados.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície
. Como é a parte do plano
no primeiro octante, podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras duas. Vamos resolver para
:
Assim, podemos usar
e
como parâmetros, onde
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para o elemento de área
. Em parametrizações onde
é uma função de
e
, o elemento de área é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos
na função que estamos integrando, que é
:
Então, a integral fica:
onde
é a região no plano
definida por
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular essa integral dupla sobre a região triangular
. Podemos integrar primeiro em
de
a
, e depois em
de
a
:
Integrando em relação a
:
Substituindo
:
Simplificando:
Agora, integramos isso em relação a
de
a
:
Substituindo
:
Resposta
A integral de superfície
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superficie
, em que
é a superficie
, com
.
Calcule a integral de superfície
em que
é a superfície parametrizada por
, com domínio definido pelo disco de raio 1 centrado na origem do plano
.
0
1
0
1
Calcule a integral de superficie
em que
e
é a parte do parabolóide
que está acima do quadrado
e tem orientação ascendente.
Calcule a integral de superficie
em que
e
é a parte do cone
entre os planos
e
. orientação ascendente.