Determine a integral de superfície integral duplaS x z d S, em que S é a superfície definida pelo parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro
octante.
raiz324
raiz312
raiz348
raiz36
raiz33

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície! O exercício pede para calcular , onde é a parte do plano que está no primeiro octante. Isso significa que todas as coordenadas , e são positivas ou zero. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral usando cálculos multivariados.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície z = 1 - x - y . Como é a parte do plano no primeiro octante, podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras duas. Vamos resolver para :
Assim, podemos usar e como parâmetros, onde , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para o elemento de área dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy . Em parametrizações onde partial zpartial x = -1 e partial zpartial y = -1 é uma função de dS = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 1 , dx , dy = raiz1 + 1 + 1 , dx , dy = raiz3 , dx , dy e , o elemento de área é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos x z = x (1 - x - y) = x - x^2 - x y na função que estamos integrando, que é integral duplaS x z , dS = raiz3 integral duplaD (x - x^2 - x y) , dx , dy :
Então, a integral fica:
onde é a região no plano definida por , e .

Passo 5

Vamos calcular essa integral dupla sobre a região triangular raiz3 integral0^1 integral0^1 - x (x - x^2 - x y) , dy , dx . Podemos integrar primeiro em integral0^1 - x (x - x^2 - x y) , dy = [ x y - x^2 y - 12x y^2 ]0^1 - x de x(1 - x) - x^2(1 - x) - 12x(1 - x)^2 a x - x^2 - x^2 + x^3 - 12x(1 - 2x + x^2) , e depois em = x - 2x^2 + x^3 - 12x + x^2 - 12x^3 de = 12x - x^2 + 12x^3 a raiz3 integral0^1 ( 12x - x^2 + 12x^3 ) dx = raiz3 [ 14x^2 - 13x^3 + 18x^4 ]0^1 :
raiz3 ( 14 - 13 + 18 ) = raiz3 ( 624 - 824 + 324 ) = raiz3 ( 124 ) = raiz324
Integrando em relação a :
Substituindo :
Simplificando:
Agora, integramos isso em relação a de a :
Substituindo :

Resposta

A integral de superfície vale .

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