Calcule a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(e^y, y e^x, x^2 y) e S é a parte do parabolóide z=x^2+y^2 que está acima do quadrado 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e tem orientação ascendente.
& 16(11-10 e) & (11-10 e) & 12(11-10 e) & 13(5 e) & 12(5 e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é dado por . A superfície é parte do parabolóide que está acima do quadrado e , com orientação ascendente.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície, parametrização de superfícies e cálculo de produtos escalares.
O que vamos precisar:
  • Entender como parametrizar a superfície .
  • Calcular o vetor normal à superfície.
  • Utilizar a definição de integral de superfície para computar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície r(x, y) = ( x, y, x^2 + y^2 ) para 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 . Como é parte do parabolóide sobre o quadrado e , podemos usar e como parâmetros. Assim, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de rx = partial rpartial x = ( 1, 0, 2x ) em relação a ry = partial rpartial y = ( 0, 1, 2y ) e :

Passo 4

O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & 2x 0 & 1 & 2y = ( -2x, -2y, 1 )
Como a orientação é ascendente, o vetor normal deve apontar para cima, então usamos .

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(x, y, z) = ( e^y, y e^x, x^2 y ) :
F cdot n = e^y (-2x) + y e^x (-2y) + x^2 y (1) = -2x e^y - 2y^2 e^x + x^2 y

Passo 6

A integral de superfície fica então:
integral duplaS F cdot d S = integral duplaD ( -2x e^y - 2y^2 e^x + x^2 y ) dx dy
onde é o domínio e .

Passo 7

Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD ( -2x e^y - 2y^2 e^x + x^2 y ) dx dy = integral0^1 integral0^1 ( -2x e^y - 2y^2 e^x + x^2 y ) dx dy
Vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Primeiro termo:
integral0^1 integral0^1 -2x e^y dx dy = -2 integral0^1 e^y ( integral0^1 x dx ) dy = -2 integral0^1 e^y [ 12 x^2 ]0^1 dy = -2 cdot 12 integral0^1 e^y dy = -integral0^1 e^y dy = -[ e^y ]0^1 = - (e - 1) = 1 - e

Passo 9

Segundo termo:
integral0^1 integral0^1 -2y^2 e^x dx dy = -2 integral0^1 y^2 ( integral0^1 e^x dx ) dy = -2 integral0^1 y^2 (e - 1) dy = -2 (e - 1) integral0^1 y^2 dy = -2 (e - 1) [ 13 y^3 ]0^1 = -2 (e - 1) cdot 13 = -23 (e - 1) = -2e - 23 = 2 - 2e3

Passo 10

Terceiro termo:
integral0^1 integral0^1 x^2 y dx dy = integral0^1 y ( integral0^1 x^2 dx ) dy = integral0^1 y [ 13 x^3 ]0^1 dy = integral0^1 y cdot 13 dy = 13 integral0^1 y dy = 13 [ 12 y^2 ]0^1 = 13 cdot 12 = 16

Passo 11

Agora, somamos os três resultados obtidos:
(1 - e) + ( 2 - 2e3 ) + 16 = 3(1 - e)3 + 2 - 2e3 + 16 = 3 - 3e + 2 - 2e3 + 16 = 5 - 5e3 + 16 = 10 - 10e + 16 = 11 - 10e6

Resposta

16(11 - 10 e)

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