Calcule a integral de superficie em que e é a parte do parabolóide que está acima do quadrado e tem orientação ascendente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície, onde o campo vetorial é dado por . A superfície é parte do parabolóide que está acima do quadrado e , com orientação ascendente.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície, parametrização de superfícies e cálculo de produtos escalares.
O que vamos precisar:
Entender como parametrizar a superfície .
Calcular o vetor normal à superfície.
Utilizar a definição de integral de superfície para computar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como é parte do parabolóide sobre o quadrado e , podemos usar e como parâmetros. Assim, a parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a orientação é ascendente, o vetor normal deve apontar para cima, então usamos .
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar F(x, y, z) = ( e^y, y e^x, x^2 y ) :
F cdot n = e^y (-2x) + y e^x (-2y) + x^2 y (1) = -2x e^y - 2y^2 e^x + x^2 y
Passo 6
A integral de superfície fica então:
integral duplaS F cdot d S = integral duplaD ( -2x e^y - 2y^2 e^x + x^2 y ) dx dy
onde é o domínio e .
Passo 7
Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD ( -2x e^y - 2y^2 e^x + x^2 y ) dx dy = integral0^1 integral0^1 ( -2x e^y - 2y^2 e^x + x^2 y ) dx dy
Vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Primeiro termo:
integral0^1 integral0^1 -2x e^y dx dy = -2 integral0^1 e^y ( integral0^1 x dx ) dy = -2 integral0^1 e^y [ 12 x^2 ]0^1 dy = -2 cdot 12 integral0^1 e^y dy = -integral0^1 e^y dy = -[ e^y ]0^1 = - (e - 1) = 1 - e
Passo 9
Segundo termo:
integral0^1 integral0^1 -2y^2 e^x dx dy = -2 integral0^1 y^2 ( integral0^1 e^x dx ) dy = -2 integral0^1 y^2 (e - 1) dy = -2 (e - 1) integral0^1 y^2 dy = -2 (e - 1) [ 13 y^3 ]0^1 = -2 (e - 1) cdot 13 = -23 (e - 1) = -2e - 23 = 2 - 2e3
Passo 10
Terceiro termo:
integral0^1 integral0^1 x^2 y dx dy = integral0^1 y ( integral0^1 x^2 dx ) dy = integral0^1 y [ 13 x^3 ]0^1 dy = integral0^1 y cdot 13 dy = 13 integral0^1 y dy = 13 [ 12 y^2 ]0^1 = 13 cdot 12 = 16