Utilize o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, em que F(x, y, z)=(y, z, x) e C é a curva de fronteira da parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante com orientação ascendente.
& -32 & 32 & -12 & 12 & 52

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. Aqui, e é a curva que delimita a parte do plano que está no primeiro octante, com orientação ascendente. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de , e parametrizar a superfície limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. Matemáticamente, é escrito como:
Ou seja, em vez de calcular a integral de linha diretamente, que pode ser complicada, podemos calcular a integral de superfície do rotacional de , o que geralmente é mais fácil.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial xpartial y - partial zpartial z, partial ypartial z - partial xpartial x, partial zpartial x - partial ypartial y ) , que é nabla times F = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1, -1) . Para , temos:
Calculando cada componente:

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície z = 1 - x - y que está delimitada por . A superfície está no plano no primeiro octante, então podemos resolver para :
Como estamos no primeiro octante, , e . Portanto, e variam de 0 a 1, mas também satisfazem . Então, nossa região de integração é um triângulo no plano com vértices em , e .

Passo 5

Precisamos agora calcular o vetor normal dS = ( partial zpartial x, partial zpartial y, 1 ) dx dy = (-1, -1, 1) dx dy à superfície. Como a orientação é ascendente, o vetor normal aponta na direção positiva do eixo . Para a parametrização , o vetor normal é dado por:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar do rotacional de (nabla times F) cdot dS = (-1, -1, -1) cdot (-1, -1, 1) = (1 + 1 -1) = 1 com o vetor normal:
integral duplaS 1 , dx dy
Portanto, a integral de superfície fica:
Isso significa que precisamos apenas calcular a área da região triangular no plano .

Passo 7

A área do triângulo com vértices em Área = 12 times base times a, e é:
Á

Resposta

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