Utilize o teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a curva de fronteira da parte do plano
que está no primeiro octante com orientação ascendente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. Aqui,
e
é a curva que delimita a parte do plano
que está no primeiro octante, com orientação ascendente. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
, e parametrizar a superfície limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como fronteira. Matemáticamente, é escrito como:
Ou seja, em vez de calcular a integral de linha diretamente, que pode ser complicada, podemos calcular a integral de superfície do rotacional de
, o que geralmente é mais fácil.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é
. Para
, temos:
Calculando cada componente:
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície
que está delimitada por
. A superfície está no plano
no primeiro octante, então podemos resolver para
:
Como estamos no primeiro octante,
,
e
. Portanto,
e
variam de 0 a 1, mas também satisfazem
. Então, nossa região de integração é um triângulo no plano
com vértices em
,
e
.
Passo 5
Precisamos agora calcular o vetor normal
à superfície. Como a orientação é ascendente, o vetor normal aponta na direção positiva do eixo
. Para a parametrização
, o vetor normal é dado por:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar do rotacional de
com o vetor normal:
Portanto, a integral de superfície fica:
Isso significa que precisamos apenas calcular a área da região triangular no plano
.
Passo 7
A área do triângulo com vértices em
,
e
é:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superficie
em que
e
é a parte do cone
entre os planos
e
. orientação ascendente.
Calcule a integral de superficie
em que
e
é a parte do parabolóide
que está acima do quadrado
e tem orientação ascendente.
Utilize o teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a fronteira da parte do plano
no primeiro octante orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Utilize o teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a curva de fronteira do parabolóide
com
com orientação ascendente (observe que a curva de fronteira está exatamente sobre o plano xy).