Utilize o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, em que F(x, y, z)=(x z, 2 x y, 3 x y) e C é a fronteira da parte do plano 3 x+y+z=3 no primeiro octante orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
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Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Stokes. A função vetorial dada é F(x, y, z) = (x z, 2 x y, 3 x y), e a curva C é a fronteira da parte do plano 3x + y + z = 3 no primeiro octante, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional de F e integrar sobre a superfície limitada por C.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
curl F = nabla times F
Usando a definição do rotacional:
curl F = ( partialpartial y(3xy) - partialpartial z(2xy), partialpartial z(xz) - partialpartial x(3xy), partialpartial x(2xy) - partialpartial y(xz) )
Calculando cada componente:
curl F = (3x - 0, x - 3y, 2y - 0) = (3x, x - 3y, 2y)

Passo 3

Agora, identificamos a superfície S limitada pela curva C. Como C é a fronteira do plano 3x + y + z = 3 no primeiro octante, podemos expressar z em função de x e y:
z = 3 - 3x - y
A normal à superfície S pode ser obtida a partir dos coeficientes do plano:
n = (3, 1, 1)

Passo 4

Aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
integralC F cdot dr = integral duplaS (curl F) cdot n , dS
Substituindo os valores encontrados:
(curl F) cdot n = (3x, x - 3y, 2y) cdot (3, 1, 1) = 9x + x - 3y + 2y = 10x - y

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração. No primeiro octante, x, y e z são não negativos. A interseção do plano com os eixos dá:
  • Quando y = z = 0: 3x = 3 Rightarrow x = 1
  • Quando x = z = 0: y = 3
  • Quando x = y = 0: z = 3
Portanto, x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de 0 a 3 - 3x.

Passo 6

Configurando a integral dupla:
integral duplaS (10x - y) , dS = integral0^1 integral0^3 - 3x (10x - y) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^3 - 3x (10x - y) , dy = 10x y - 12 y^2 g|0^3 - 3x = 10x (3 - 3x) - 12 (3 - 3x)^2
Simplificando:
30x - 30x^2 - 12 (9 - 18x + 9x^2) = 30x - 30x^2 - 92 + 9x - 92x^2 = 39x - 692x^2 - 92
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 (39x - 692x^2 - 92) dx = 392x^2 - 696x^3 - 92x g|0^1 = 392 - 696 - 92 = 72

Resposta

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