Utilize o teorema de Stokes para calcular , em que e é a fronteira da parte do plano no primeiro octante orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. A função vetorial dada é , e a curva é a fronteira da parte do plano no primeiro octante, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional de e integrar sobre a superfície limitada por .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Usando a definição do rotacional:
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, identificamos a superfície limitada pela curva . Como é a fronteira do plano no primeiro octante, podemos expressar em função de e :
A normal à superfície pode ser obtida a partir dos coeficientes do plano:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração. No primeiro octante, , e são não negativos. A interseção do plano com os eixos dá: